粒子群算法(PSO)
用途：可以用于尋求最優解問題
生物機理：鳥群尋找湖泊
在函數中，有很多是無法求出最優解的
在這時，我們會采用軟計算方法，而PSO算法，在軟計算算法中有重要的地位；
好吧，這個仁者見仁，智者見智

還是先看圖：

圖中的粉紅色線畫出來的就是我們求的目標函數
然后，我們是打算求最大值的，那個點，就是我們求出來的最大值位置
還是很準的對吧？
一般的話，我們會進行一些處理，轉成求最小值(不只是倒數，還有一些簡單的處理過程)

代碼如下，代碼中會有詳細的講解，如有不懂，可以在評論區問

function main() clc;clear all; close all; tic; % 程序運行計時 E0 = 0.001; % 允許誤差 MaxNum = 100; % 粒子最大迭代次數 narvs = 1; % 目標函數的自變量個數 particlesize = 30; % 粒子群規模 c1 = 2; % 個體經驗學習因子 c2 = 2; % 社會經驗學習因子 w =0.6; % 慣性因子 vmax = 0.8; % 粒子的最大飛翔速度 x = -5 + 10 * rand(particlesize, narvs);% 粒子所在的位置 (rand產生的大小為0,1),規模是 粒子群數和參數需求數 設置了x的取值范圍[-5,5] v = 2*rand(particlesize,narvs); % 粒子的飛翔速度 生成每個粒子的飛翔速度，由于是只有一個變量，所以速度是一維的 % 用inline定義適應度函數以便將子函數文件與主程序文件放到一起 % 目標函數是:y = 1+(2.1*(1- x + 2*x.^2).*exp(-x.^2 / 2)) # 與Python不同的是，這里必須要寫成.* % .^之類的，因為定義不同 fitness = inline('1/(1+(2.1*(1 - x + 2 * x.^2).*exp(-x.^2/2)))','x'); % 這里求倒數，還在分母上加了個1，確保不會出現分母為0的情況，轉為求最小值位置 % inline函數定義可以大大降低程序運行速度 for i= 1:particlesizef(i) = fitness(x(i,1)); end % 完成了對每一個粒子，在各自位置上的適應值 % 粒子開始學習 personalbest_x=x; % 用于存儲對于每一個粒子最佳經歷點的x值 personalbest_faval=f; % 同時存儲對于每一個粒子的最佳經歷點的數值，用于更改 [globalbest_faval,i] = min(personalbest_faval); % min函數返回的第一個是最小值，還有一個就是最小值的下標，這里就是告訴了是在哪個粒子上 globalbest_x = personalbest_x(i,:); % 這個是必定是全局最優點的位置 k = 1; % 開始迭代計數 while k <= MaxNum % 當迭代次數達到設定的最大值的時候，就不要再進行迭代了for i = 1:particlesize % 對于每一個粒子f(i) = fitness(x(i,1)); % 得到每個粒子的當前位置 在函數上的適應值 if f(i) < personalbest_faval(i) % 如果這個值是小于個人最優解的位置的時候，就更新,我們經過轉換，所以只用考慮求最小值的情況personalbest_faval(i) = f(i); % 將第i個粒子的個人最優解設置為personalbest_x(i,:) = x(i,:); % 同時更改最有地址的位置endend [globalbest_faval,i] = min(personalbest_faval); globalbest_x = personalbest_x(i,:); % 更新全局 全局信息由個體信息描述組成for i = 1:particlesizev(i,:) = w*v(i,:) + c1*rand*(personalbest_x(i,:) - x(i,:)) + c2*rand*(globalbest_x -x(i,:)); % 由個人和全局的最佳信息數據進行更新移動速度% 上面中rand會隨機生成一個rand(0,1)然后會隨機的降低學習因子的比例for j = 1:narvs % 這個個循環確定了每個自變量上的速度，有沒有超過對應的最大值if v(i,j) > vmaxv(i,j) = vmax;elseif v(i,j) < -vmaxv(i,j) = -vmax;endend x(i,:) = x(i,:) + v(i,:); % 通過速度更新位置endif abs(globalbest_faval) < E0,break,end k = k + 1; end Value1 = 1/globalbest_faval - 1; % 還記得上面做了一個加1，求倒數的操作么? Value1 = num2str(Value1); disp(strcat('the maximum value',' = ', Value1)); % 主要是在這進行了展示 Value2 = globalbest_x; % 得到了全局最優解的位置 Value2 = num2str(Value2); disp(strcat('the maximum x = ', Value2));% 繪圖 x = -5:0.01:5; y = 2.1*(1 - x + 2 * x.^2).*exp(-x.^2/2); plot(x,y,'m--','linewidth',3); % m表示的是粉紅色,-是表示的是連續的曲線線 hold on; plot(globalbest_x, 1/globalbest_faval-1,'kp','linewidth',4); legend('目標函數','搜索到的最大值'); xlabel('x'); % 給x軸貼標簽 ylabel('y'); % 給y軸貼標簽 grid on; end

由于上面給出的例子比較簡單(二維的)
所以，我們完全可以用硬計算的方法找到最值（硬計算）
具體代碼如下：

x = -5:0.01:5; y = 2.1*(1 - x + 2 * x.^2).*exp(-x.^2/2); [v, index_x] = max(y); disp(v); % 畫圖 plot(x,y,'m-','linewidth',3); % m表示的是粉紅色,-是表示的是連續的曲線線 hold on; plot(x(index_x), v,'kp','linewidth',4); legend('目標函數','搜索到的最大值'); xlabel('x'); % 給x軸貼標簽 ylabel('y'); % 給y軸貼標簽 grid on;

但是，要清楚的是，如果這個時候是三維，或者是更高維度的時候，這樣的方法，可能就沒有“粒子群算法”好用了。

由于采用的時候硬計算方法，所以，函數更奇怪的時候，或者就是給出的函數本身就是一個隱函數的時候，可能粒子群算法，就會比較好用一點。

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總結

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