首先，這篇文章是在講《圖論》時(shí)候?qū)懳恼?/h1>

（所以，還是以理論為主，以后有空的時(shí)候，會(huì)把代碼發(fā)上來(lái)，不過(guò)我覺得大家看完理論，如果講得好，代碼也就比較容易了。如果講得不好，網(wǎng)上的代碼也是大把，不看這篇文章也罷了）

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任務(wù)目標(biāo)：

給個(gè)起點(diǎn)S，找到圖中每個(gè)點(diǎn)距離起點(diǎn)S的最小距離（考慮聯(lián)通性的問題）。

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算法思路概述

先選第一個(gè)距離S最近的點(diǎn)。之后，更新其他圖中的點(diǎn)到S的距離。更新原因：新增加的最近點(diǎn)可以作為一個(gè)橋。

• 輸入是：點(diǎn)之間的距離矩陣。
• 維護(hù)是：上面矩陣中的某一行

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下圖為老師的課件內(nèi)容部分，我覺得雖然詳盡，但也有些枯燥。可能是為了凝練語(yǔ)言吧。如果有耐心看的話，倒真的是一篇非常好的文章。
我在后面會(huì)用自己的語(yǔ)言闡述，可能會(huì)比較清晰（但廢話可能也比較多）。

其中前面的黃色部分是我自己標(biāo)注的（老師寫的），后面的黃色部分是我自己寫的。

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闡述

首先，選定一個(gè)點(diǎn)$v0$，先假設(shè)所有的點(diǎn)到某個(gè)點(diǎn)的路徑都是無(wú)窮（當(dāng)然自己到自己肯定得是長(zhǎng)度是0…）。

然后確定一個(gè)集合$S$，這集合表示已經(jīng)被訪問的過(guò)點(diǎn)。（那么沒有被訪問過(guò)的點(diǎn)，也是很容易解決的…），這里用個(gè)bool數(shù)組什么的標(biāo)記一下吧。

之后，先更新所有點(diǎn)到這個(gè)$v0$的距離。怎么更新呢？

所有點(diǎn)通過(guò)已經(jīng)被訪問過(guò)的點(diǎn)到達(dá)$v0$的距離，在結(jié)合$d(v0,vi)=mi{n}_{vj\in (S)}(d(v0,vj)+w(vj,vi))$ ( 一般就是新增加的那個(gè)點(diǎn)考慮下就好了 )。就是在中間搭一個(gè)橋，如果，通過(guò)這個(gè)橋的點(diǎn)會(huì)讓這個(gè)路變得更近，就更新這個(gè)路徑的長(zhǎng)度。

然后選個(gè)最近的點(diǎn)，然后把這個(gè)最近的點(diǎn)標(biāo)記訪問過(guò)。納入到集合$S$

然后，一直到把所有的點(diǎn)都納入進(jìn)去之后，就沒什么事情了~

這里面，有很多的問題，乍一看都是有點(diǎn)合情合理，但是卻讓人一下子想不明白的。
歸結(jié)到一條，就是，為什么這樣子，就能保證一定會(huì)是得到了所有的點(diǎn)，到這個(gè)點(diǎn)$v0$的最短距離呢？

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證明（不嚴(yán)格的證明）

首先，我們能保證，拿到的第一個(gè)點(diǎn)，一定是跟$v0$最近的點(diǎn)。 因?yàn)?#xff0c;首先我們選擇的是與$v0$直接相連的點(diǎn)中到$v0$最近的點(diǎn)。如果之后的選的方法得到點(diǎn)，有能夠得到的點(diǎn)到$v0$的距離小于一開始選的這個(gè)點(diǎn)的話，這是不科學(xué)的。因?yàn)?#xff0c;我們每次選點(diǎn)，都是根據(jù)我們維護(hù)的一個(gè)數(shù)組。這個(gè)數(shù)組的變化過(guò)程是，以這個(gè)數(shù)組中很早就被選中的點(diǎn)的為中轉(zhuǎn)的點(diǎn)，然后，再加上這個(gè)中轉(zhuǎn)的點(diǎn)到這個(gè)的點(diǎn)的距離，來(lái)替代的。但是，我們知道，任意兩點(diǎn)的距離都是大于0的，那么，更新的基本算法是“加法”那么更新之后， 怎么可能得到的數(shù)是比之前的數(shù)要小呢？

同樣的道理，第二次被選的點(diǎn)，一定是比以后要選的點(diǎn)都要更近$v0$一點(diǎn)。（最多是相等）。有沒有一種感覺，就跟堆排序的方法是一樣的。每次，都是把距離$v0$最近的點(diǎn)給“生產(chǎn)”出來(lái)了。然后不斷迭代出所有與v0的點(diǎn)更近的點(diǎn)。

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證明（較為嚴(yán)格的證明）

通過(guò)歸納法

(1) $i=0$
首先，還是一樣，根據(jù)上面的方式，來(lái)依次產(chǎn)生出這些點(diǎn)。這是一個(gè)序列，稱其為$V=v0,v1,v2,....,vn$這n個(gè)點(diǎn)。$vi$對(duì)應(yīng)的距離就是$di$。

(2) 設(shè)$i<=k$時(shí)成立，下面看 $i=k+1$的情況

$vi$通過(guò)上述方法生成的點(diǎn)，所得到的到$v0$的距離不是最近的，也就是說(shuō)，還存在一條路，使得$vi$到$v0$的距離小于$di$。
由于，$di$的產(chǎn)生方法，我們可以知道，這樣的點(diǎn)，必定通過(guò)了后面的點(diǎn)（$v_{i>=k+2}$）。但是，我們同樣知道$v_{i>=k+2}$到$v0$的距離一定是會(huì)大于$v_{i<=k}$的。（遞增的特點(diǎn)）。所以，只要是通過(guò)了后面的點(diǎn)，到達(dá)$v0$的距離，一定是大于等于，我們只通過(guò)前面的點(diǎn)$v_{i<=k}$到達(dá)所致的。但是，這與我們之前的假設(shè)有矛盾。這樣我們就知道了， $i=k+1$時(shí)候也是成立的！

綜上所述…

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的迪杰斯特拉算法（Dijkstra）证明的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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