簡述

這里顯示兩種，分別是，勒讓德多項式跟切比雪夫多項式

勒讓德多項式

區間是 $x\in [?1,1]$，權函數為$\rho (x)\equiv 1$
$$P_0(x)=1$$
$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2?1{)}^n$$

得到勒讓德多項式的首項為$\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2}$

所以首項系數為1的勒讓德多項式，就是
$$P_n^{?}(x)=\frac{P_n(x)}{\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2}}$$

即，
$$P_n^{?}(x)=\frac{n!}{(2n)!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2?1{)}^n$$

正交性：
$${\int }_{?1}^1{P}_n(x)P_m(x)dx$$
上式，當且僅當n=m時，非0，且值為$\frac{2}{2n+1}$

奇偶性：
$$P_n(?x)=(?1{)}^n{P}_n(x)$$

遞推性：

$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x{P}_n(x)?n{P}_{n?1}(x)$$

在區間上有n個零點

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切比雪夫多項式

區間是 $x\in [?1,1]$，權函數為$\rho (x)=\frac{1}{\sqrt{1?x^2}}$
$$T_n(x)=\cos (n\arccos (x))$$

遞推性：
$$T_{n+1}(x)=2x{T}_n(x)?T_{n?1}(x)$$

正交性：
當n = m時有兩種情況，

• n = m != 0: $\frac{\pi }{2}$
• n = m = 0 $\pi$

T_n(x) n為偶數，則只含有x的偶數冪；n為奇數的時候，就只含有x的奇數冪

零點問題：
同樣，包含有n個零點，但是有公式可以直接獲得答案
$$x_k=cos\frac{2k?1}{2n}\pi$$
$$k=1，2，3，...,n$$

首項問題：
$P_n(x)$首項系數為 $2^{n?1}$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的正交多项式族（勒让德多项式跟切比雪夫多项式）理论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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