簡述

PageRank有點被神化了，其實公式很簡單。

文章目錄

• • 簡述
  • 算法
  • • 模型定義
    • Flow版本
    • Google Formula
  • 實現

算法

主要是分為兩種：

• The ‘Flow’ formula
• The Google formula

模型定義

很多個網頁，直接存在鏈路關系，設為G，N*N的矩陣

這里先只考慮有向無權無環圖，即邊有方向，且權重都一樣，且沒有自己到自己的邊（環）。

• N為節點數或者是網頁數
• G[i][j] = 1表示，i->j有條邊

Flow版本

$$r_i=\sum _{(j=1)and(j?>i)}^N\frac{r_j}{d_j}$$

一個很好是數學寫法就是：

$$r=M?r$$

• 如果有i->j, M[j][i] = 1/dj，否者為0

算法流程：

• 也就是，隨機初始化每個點的分數

• 然后，迭代：

  • 每個點的分數，由所有 指向他的節點的分數 除以 這個節點的出度數 求和所替代

• Flow版本會出現兩個重要的問題;

  • Dead End：例如只有兩個點，然后邊為A->B，B就是一個Dead END。即到這時候的分數就出不去了。
  • Spider Traps：循環指向，例如A->B->A。那么這個分數就會這之間打轉

Google Formula

剛剛說的兩個問題在Google Formula上得到很好的改進：

• 提出了一個叫做Teleport的概念，也稱之為意念轉移。

很簡單，就是說，每個節點有一定的概率發生隨機跳轉到任意一個點的情況。再結合MapReduce的概念，Google就這樣發家了emmmm

$$r_i=\beta ?\sum _{(j=1)and(j?>i)}^N\frac{r_j}{d_j}+(1?\beta )?\frac{1}{N}$$

直接的數學表達：

$$\begin{gathered} r=A?r \\ A=\beta ?M+(1?\beta )?[\frac{1}{N}{]}_{N?N} \end{gathered}$$

Google簡化后的數學表達：

$$r=\beta ?M?r+[\frac{1}{N}{]}_N$$

• 如果有i->j, M[j][i] = 1/dj，否者為0

存在的問題：

• 雖然直接的數學表達會更簡潔，但是多出來的A一定會是稠密矩陣使得空間消耗為O(N^2)了，這樣的在網站達到數億的情況下，這個東西就不太現實了。
• 而Google簡化的版本中就只需要記錄同樣稀疏的M即可，1/N是一個數，只需要讓r這個向量的每個元素都加上即可（簡單的數學變形，在工業上的產生的價值就很大的不一樣了。真的佩服研究數學的哥們）

實現

實現同樣做兩個不同的版本的：

但有些共同的模型：

導入包：

import numpy as np import random

創造數據：

def create_data(N, alpha=0.5): # random > alpha, then here is a edge.G = np.zeros((N, N))for i in range(N):for j in range(N):if i == j:continueif random.random() < alpha:G[i][j] = 1return G G = create_data(10)

GtoM：

def GtoM(G, N):M = np.zeros((N, N))for i in range(N):D_i = sum(G[i])if D_i == 0:continuefor j in range(N):M[j][i] = G[i][j] / D_i # watch out! M_j_i instead of M_i_jreturn M M = GtoM(G, 10)

• Flow版本的PageRank

def PageRank(M, N, T=300, eps=1e-6):R = np.ones(N) / Nfor time in range(T):R_new = np.dot(M, R)if np.linalg.norm(R_new - R) < eps:breakR = R_new.copy()return R_new

測試下：

values = PageRank(M, 10, T=2000) values

輸出：

array([0.09972576, 0.09193927, 0.07843151, 0.09125886, 0.08925602,0.10407245, 0.09623654, 0.13851257, 0.13086464, 0.07970237])

• Google Formula

def PageRank(M, N, T=300, eps=1e-6, beta=0.8):R = np.ones(N) / Nteleport = np.ones(N) / Nfor time in range(T):R_new = beta * np.dot(M, R) + (1-beta)*teleportif np.linalg.norm(R_new - R) < eps:breakR = R_new.copy()return R_new

同樣的數據測試下：

測試下：

values = PageRank(M, 10, T=2000) values

輸出：

array([0.09815807, 0.09250429, 0.08376235, 0.09300133, 0.09324628,0.10108776, 0.09855127, 0.13019363, 0.12458992, 0.0849051 ])

總結

以上是生活随笔為你收集整理的PageRank算法以及Python实现（简洁版）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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