牛頓法至少有兩個應用方向，1、求方程的根，2、最優化。牛頓法涉及到方程求導，下面的討論均是在連續可微的前提下討論。

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1、求解方程。

并不是所有的方程都有求根公式，或者求根公式很復雜，導致求解困難。利用牛頓法，可以迭代求解。

原理是利用泰勒公式，在x0處展開，且展開到一階，即f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)

求解方程f(x)=0，即f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0，求解x =?x1=x0－f(x0)/f'(x0)，因為這是利用泰勒公式的一階展開，f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)處并不是完全相等，而是近似相等，這里求得的x1并不能讓f（x）=0，只能說f(x1)的值比f(x0)更接近f（x）=0，于是乎，迭代求解的想法就很自然了，可以進而推出x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，通過迭代，這個式子必然在f（x*）=0的時候收斂。整個過程如下圖：

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2、牛頓法用于最優化

在最優化的問題中，線性最優化至少可以使用單純行法求解，但對于非線性優化問題，牛頓法提供了一種求解的辦法。假設任務是優化一個目標函數f，求函數f的極大極小問題，可以轉化為求解函數f的導數f'=0的問題，這樣求可以把優化問題看成方程求解問題（f'=0）。剩下的問題就和第一部分提到的牛頓法求解很相似了。

這次為了求解f'=0的根，把f（x）的泰勒展開，展開到2階形式：

這個式子是成立的，當且僅當?Δx?無線趨近于0。此時上式等價與：

求解：

得出迭代公式：

一般認為牛頓法可以利用到曲線本身的信息，比梯度下降法更容易收斂（迭代更少次數），如下圖是一個最小化一個目標方程的例子，紅色曲線是利用牛頓法迭代求解，綠色曲線是利用梯度下降法求解。

在上面討論的是2維情況，高維情況的牛頓迭代公式是：

其中H是hessian矩陣，定義為：

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高維情況依然可以用牛頓迭代求解，但是問題是Hessian矩陣引入的復雜性，使得牛頓迭代求解的難度大大增加，但是已經有了解決這個問題的辦法就是Quasi-Newton methond，不再直接計算hessian矩陣，而是每一步的時候使用梯度向量更新hessian矩陣的近似。

擬牛頓法基本思想

上一節指出，牛頓法收斂速度快，但是計算過程中需要計算目標函數的二階偏導數，難度較大；目標函數的Hesse矩陣無法保持正定，從而令牛頓法失效。

為了解決這兩個問題，人們提出了擬牛頓法，即“模擬”牛頓法的改進型算法。基本思想是不用二階偏導數而構造出可以近似Hesse矩陣的逆的正定對稱陣，從而在“擬牛頓”的條件下優化目標函數。Hesse陣的構造方法的不同決定了不同的擬牛頓法。

SR1算法

SR1算法是一個非常有特色的擬牛頓算法，有許多改進的SR1算法研究。其中，SR1的一個突出優點是在極小正定二次目標函數時無需線搜索仍具有至多n步的終止性質。

BFGS算法

BFGS算法是Broyden，Fletcher，Goldfarb，Shanno四位優化大家在1970年幾乎同時從不同的優化角度提出的。從發明到現在的40多年時間里，它仍然被認為是最好的擬牛頓算法。

DFP算法

DFP算法是以Davidon、Fletcher、Powell發明人的名字首字母命名的。

DFP算法也是一種秩2的修正算法。推導步驟和BFGS算法是類似的，并且兩種修正公式之間構成了對偶關系。記憶時候，可以只記住一種修正公式，然后利用對偶關系寫出另一種。

族算法

BFGS修正公式和DFP修正公式的加權線性組合構成一類修正共識，其中含有一個參數的稱為Broyden族修正公式

后來人們又發展出含有兩個參數的Oren族算法和含有三個參數的Huang族算法。之所以開發這些算法，目的就是為了找到一個能夠超越BFGS的更優算法。然而，經過40多年的努力，這個愿望至今還沒有實現。

收斂性及進一步修正

擬牛頓法對于一般非二次函數的收斂性，最早由Powell于1971年給出。目前得到的收斂結果都是假設目標函數是凸的。對于一般的非凸目標函數，擬牛頓法的收斂性還沒有統一的證明，只散見個別的案例。

比如，當用于非凸函數極小值問題求解時，有例子表明BFGS采用精確線性搜索或者W-P搜索不收斂，而BFGS又是十分好用的算法，于是在為了克服BFGS的缺陷，又產生了不少修正算法，如MBFGS、CBFGS等。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的牛顿法求极大极小值的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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