協方差的定義

?

對于一般的分布，直接代入E(X)之類的就可以計算出來了，但真給你一個具體數值的分布，要計算協方差矩陣，根據這個公式來計算，還真不容易反應過來。網上值得參考的資料也不多，這里用一個例子說明協方差矩陣是怎么計算出來的吧。

記住，X、Y是一個列向量，它表示了每種情況下每個樣本可能出現的數。比如給定

則X表示x軸可能出現的數，Y表示y軸可能出現的。注意這里是關鍵，給定了4個樣本，每個樣本都是二維的，所以只可能有X和Y兩種維度。所以

?

?

用中文來描述，就是：

協方差(i,j)=（第i列的所有元素-第i列的均值）*（第j列的所有元素-第j列的均值）

這里只有X,Y兩列，所以得到的協方差矩陣是2x2的矩陣，下面分別求出每一個元素：

???????所以，按照定義，給定的4個二維樣本的協方差矩陣為：

?

????

用matlab計算這個例子

z=[1,2;3,6;4,2;5,2]

cov(z)

ans =

????2.9167???-0.3333

???-0.3333????4.0000

可以看出，matlab計算協方差過程中還將元素統一縮小了3倍。所以，協方差的matlab計算公式為：

??? 協方差(i,j)=（第i列所有元素-第i列均值）*（第j列所有元素-第j列均值）/（樣本數-1）

???????下面在給出一個4維3樣本的實例，注意4維樣本與符號X,Y就沒有關系了，X,Y表示兩維的，4維就直接套用計算公式，不用X,Y那么具有迷惑性的表達了。

?

?

?

????

????????????????

????????（3）與matlab計算驗證

???????????????????? Z=[1 2 3 4;3 4 1 2;2 3 1 4]

?????????????????????cov(Z)

???????????????????? ans =

??????????????????????????1.0000????1.0000???-1.0000???-1.0000

???????????????????????? ?1.0000????1.0000???-1.0000???-1.0000

?????????????????????????-1.0000???-1.0000????1.3333????0.6667

??????????????????????????-1.0000???-1.0000????0.6667????1.3333

???????可知該計算方法是正確的。我們還可以看出，協方差矩陣都是方陣，它的維度與樣本維度有關（相等）

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的协方差和协方差矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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