整數(shù)劃分問題是算法中的一個經(jīng)典命題之一，有關(guān)這個問題的講述在講解到遞歸時基本都將涉及。所謂整數(shù)劃分，是指把一個正整數(shù)n寫成如下形式：

????n=m1+m2+...+mi; （其中mi為正整數(shù)，并且1 <= mi <= n），則{m1,m2,...,mi}為n的一個劃分。

如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬于n的一個m劃分。這里我們記n的m劃分的個數(shù)為f(n,m);

例如但n=4時，他有5個劃分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同一個劃分。

該問題是求出n的所有劃分個數(shù)，即f(n, n)。下面我們考慮求f(n,m)的方法;

1.遞歸法：

???根據(jù)n和m的關(guān)系，考慮以下幾種情況：

?? (1)當n=1時，不論m的值為多少（m>0)，只有一種劃分即{1};

???(2)當m=1時，不論n的值為多少，只有一種劃分即n個1，{1,1,1,...,1};

???(3)當n=m時，根據(jù)劃分中是否包含n，可以分為兩種情況：

??????(a)劃分中包含n的情況，只有一個即{n}；

??????(b)劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數(shù)字也一定比n小，即n的所有(n-1)劃分。

??????因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

???(4)當n<m時，由于劃分中不可能出現(xiàn)負數(shù)，因此就相當于f(n,n);

???(5)但n>m時，根據(jù)劃分中是否包含最大值m，可以分為兩種情況：

?????? (a)劃分中包含m的情況，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和為n-m，因此這情況下

??????????為f(n-m,m)

???????(b)劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的(m-1)劃分，個數(shù)為f(n,m-1);

??????因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

????? 綜上所述：

???????????????????????????? f(n, m)=?? 1;??????????????(n=1 or m=1)

???????????????f(n,m)???=????f(n, n);???????????????????(n<m)

???????????????????????????? 1+ f(n, m-1);??????????????(n=m)

???????????????????????????? f(n-m,m)+f(n,m-1);?????????(n>m)

#include<iostream> using namespace std;int equationCount(int n,int m) {if(n==1||m==1)return 1;else if(n<m)return equationCount(n,n);else if(n==m)return 1+equationCount(n,n-1);elsereturn equationCount(n,m-1)+equationCount(n-m,m); }int main(void) {int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF&&(n>=1&&n<=120)){printf("%d\n",equationCount(n,n));}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的整数划分问题（递归法）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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