邏輯回歸模型(Logistic Regression, LR)基礎

邏輯回歸(Logistic Regression, LR)模型其實僅在線性回歸的基礎上，套用了一個邏輯函數，但也就由于這個邏輯函數，使得邏輯回歸模型成為了機器學習領域一顆耀眼的明星，更是計算廣告學的核心。本文主要詳述邏輯回歸模型的基礎，至于邏輯回歸模型的優化、邏輯回歸與計算廣告學等，請關注后續文章。

1?邏輯回歸模型

??? 回歸是一種極易理解的模型，就相當于y=f(x)，表明自變量x與因變量y的關系。最常見問題有如醫生治病時的望、聞、問、切，之后判定病人是否生病或生了什么病，其中的望聞問切就是獲取自變量x，即特征數據，判斷是否生病就相當于獲取因變量y，即預測分類。

??? 最簡單的回歸是線性回歸，在此借用Andrew NG的講義，有如圖1.a所示，X為數據點——腫瘤的大小，Y為觀測值——是否是惡性腫瘤。通過構建線性回歸模型，如h_θ(x)所示，構建線性回歸模型后，即可以根據腫瘤大小，預測是否為惡性腫瘤h_θ(x)≥.05為惡性，h_θ(x)<0.5為良性。

圖1 線性回歸示例

??? 然而線性回歸的魯棒性很差，例如在圖1.b的數據集上建立回歸，因最右邊噪點的存在，使回歸模型在訓練集上表現都很差。這主要是由于線性回歸在整個實數域內敏感度一致，而分類范圍，需要在[0,1]。邏輯回歸就是一種減小預測范圍，將預測值限定為[0,1]間的一種回歸模型，其回歸方程與回歸曲線如圖2所示。邏輯曲線在z=0時，十分敏感，在z>>0或z<<0處，都不敏感，將預測值限定為(0,1)。

圖2 邏輯方程與邏輯曲線

??? 邏輯回歸其實僅為在線性回歸的基礎上，套用了一個邏輯函數，但也就由于這個邏輯函數，邏輯回歸成為了機器學習領域一顆耀眼的明星，更是計算廣告學的核心。對于多元邏輯回歸，可用如下公式似合分類，其中公式(4)的變換，將在邏輯回歸模型參數估計時，化簡公式帶來很多益處，y={0,1}為分類結果。?

??? 對于訓練數據集，特征數據x={x₁, x₂, … , x_m}和對應的分類數據y={y₁, y₂, … , y_m}。構建邏輯回歸模型f(θ)，最典型的構建方法便是應用極大似然估計。首先，對于單個樣本，其后驗概率為：

??? 那么，極大似然函數為：

??? log似然是：

2?梯度下降

??? 由第1節可知，求邏輯回歸模型f(θ)，等價于：

??? 采用梯度下降法：

???? 從而迭代θ至收斂即可：

3?模型評估

??? 對于LR分類模型的評估，常用AUC來評估，關于AUC的更多定義與介紹，可見參考文獻2，在此只介紹一種極簡單的計算與理解方法。

??? 對于下圖的分類：

???? 對于訓練集的分類，訓練方法1和訓練方法2分類正確率都為80%，但明顯可以感覺到訓練方法1要比訓練方法2好。因為訓練方法1中，5和6兩數據分類錯誤，但這兩個數據位于分類面附近，而訓練方法2中，將10和1兩個數據分類錯誤，但這兩個數據均離分類面較遠。

??? AUC正是衡量分類正確度的方法，將訓練集中的label看兩類{0，1}的分類問題，分類目標是將預測結果盡量將兩者分開。將每個0和1看成一個pair關系，團中的訓練集共有5*5=25個pair關系，只有將所有pair關系一至時，分類結果才是最好的，而auc為1。在訓練方法1中，與10相關的pair關系完全正確，同樣9、8、7的pair關系也完全正確，但對于6，其pair關系(6，5)關系錯誤，而與4、3、2、1的關系正確，故其auc為(25-1)/25=0.96；對于分類方法2，其6、7、8、9的pair關系，均有一個錯誤，即(6,1)、(7,1)、(8,1)、(9,1)，對于數據點10，其正任何數據點的pair關系，都錯誤，即(10,1)、(10,2)、(10,3)、(10,4)、(10,5)，故方法2的auc為(25-4-5)/25=0.64，因而正如直觀所見，分類方法1要優于分類方法2。

4 演算手稿

??? 附演算手稿如下：

?

參考文獻：

1? Andrew NG. Logistic Regression Classification

2?http://www.cnblogs.com/guolei/archive/2013/05/23/3095747.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的逻辑回归模型(Logistic Regression, LR)基础的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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