先介紹向量的兩種運算，一個行向量乘以一個列向量稱作向量的內積，又叫作點積，結果是一個數；

一個列向量乘以一個行向量稱作向量的外積，外積是一種特殊的克羅內克積，結果是一個矩陣，

假設和b分別是一個行向量和一個列向量，那么內積、外積分別記作和,為了討論方便，假設每個向量的長度為2，內積和外積如下所示：

定義了內積和外積以后，我們討論矩陣的乘法。矩陣是由向量組成的，因此對矩陣不同角度的抽象，將矩陣乘法轉換為向量乘法，可以使我們從不同的角度去理解矩陣的乘法。對于一個矩陣A（假設行和列的大小都是2），我們既可以把它看作由兩個行向量組成的列向量，，又可以看作是由兩個列向量組成的行量,我們表示列向量，表示行向量,這樣矩陣A和矩陣B的乘積按照不同的角度就可以組成四種理解方式。

一、 A是由行向量組成的列向量，B是由列向量組成的行向量

此時AB乘積變為了兩個新的向量的外積形式，按照外積定義，我們有

注意到這里面每一個都是一個向量，因此就是一個內積,計算結果就是AB矩陣第i行第j列中的元素。因此，我們可以看到，矩陣乘積是兩個向量的外積，并且外積矩陣中的每一個元素是一個內積,這是最直接的理解方式。

二、 A和B都是由列向量組成的行向量

令C = AB， 我們考慮C的每一個列向量:

同理：

因此，矩陣C的每一個列向量，是A的列向量的一個線性組合，該線性組合中的系數是的各個元素。從這個角度說C的每一列都存在于A的列向量空間內。

三、?A是由行向量組成的列向量，B也是由行向量組成的列向量

類似于上面的情況，不過我們現在考慮C的每一個行向量:

同理：

因此，矩陣C的每一個行向量，是B的行向量的一個線性組合，該線性組合中的系數是的各個元素。從這個角度說C的每一個行向量都存在于B的行向量空間內。

四、?A是由列向量組成的行向量，B也是由行向量組成的列向量

此時AB乘積變為了兩個新的向量的內積形式。按照內積定義我們有：

注意到是一個外積形式，因為是一個列向量，是一個行向量，因此C是由各個外積矩陣相加得到的。

根據以上分析，我們可以將第一種和第四種方式放到一起，第二種和第三種放到一起分別進行理解。第一種方式先將A抽象為列向量，將B抽象為行向量，從而將矩陣乘法變為了一種外積的形式，而外積矩陣中的每一個元素是一個行向量和一個列向量的內積。這種方式每次得到C的一個元素。

第四種理解方式先將A抽象為行向量，將B抽象為列向量，從而將矩陣乘法變為了一種內積形式，內積的各個組成部分又是一個外積。這種方式每次不是得到C的一個元素，而是將C看作是多個矩陣相加組成的，每次計算得到一個加數矩陣。

第二種方式將矩陣A、B都抽象為行向量，行向量的每個組成是一個列向量，A乘以B的每一個列向量得到一個新的列向量，并且該列向量存在于A的列向量空間內，A乘以B相當于是對A進行了列變換。第三種方式則將A乘以B看作是對B進行了行變換。

如果想對一個矩陣進行行變換，可以左乘一個矩陣；相應的如果想對矩陣進行列變換，可以右乘一個矩陣。這種思想被應用到高斯消元的過程中。

最后我們總結一下矩陣C(C=AB)到底是什么，C是一個矩陣，是一個多面孔的矩陣。它既是列向量組成的行向量，每個列向量是A的列空間的線性組合，又是行向量組成的列向量，每個行向量是B的行空間的線性組合；它是一個內積，內積的每個成分是一個外積，同時它又是一個外積，外積矩陣的每一個元素是一個內積。

參考資料：

[1]?http://videolectures.net/mit1806s05_strang_lec06/

[2] Introduction to Linear Algebra; ?Gilbert Strang

本文引用地址： http://blog.sciencenet.cn/blog-520608-685388.html? ? 此文來自科學網李建扣博客，轉載請注明出處。 ?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵乘法的四种理解方式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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