聚类算法K-Means, K-Medoids, GMM, Spectral clustering，Ncut .
聚類算法是ML中一個重要分支，一般采用unsupervised learning進行學習，本文根據常見聚類算法分類講解K-Means, K-Medoids, GMM, Spectral clustering，Ncut五個算法在聚類中的應用。
Clustering Algorithms分類
1. Partitioning approach:
? ? ? ? 建立數據的不同分割，然后用相同標準評價聚類結果。（比如最小化平方誤差和）
? ? ? ? 典型算法：K-Means, K-Medoids
2.?Model-based:
? ? ? ?對于每個類假定一個分布模型，試圖找到每個類最好的模型
? ? ? ?典型算法：GMM（混合高斯）?
3. Dimensionality Reduction Approach:
? ? ? ?先降維，再聚類
? ? ? ?典型算法：Spectral clustering，Ncut
下面分別解析~
1. Partitioning approach
1.目標：
? ? ? ?找出一個分割，使得距離平方和最小
2.方法：
? ? ? ?Global optimal : 枚舉所有partition
? ? ? ?Heuristic method：K-Means, K-Medoids
3.K-Means算法：
? ? ? ?1. 將數據分為k個非空子集
? ? ? ?2. 計算每個類中心點（k-means<centroid>中心點是所有點的average），記為seed point
? ? ? ?3. 將每個object聚類到最近seed point
? ? ? ?4. 返回2，當聚類結果不再變化的時候stop
復雜度：
? ? ? ?O（kndt）
? ? ? ?-計算兩點間距離：d
? ? ? ?-指定類：O(kn) ? ,k是類數
? ? ? ?-迭代次數上限：t
4.K-Medoids算法:
? ? ? ?1. 隨機選擇k個點作為初始medoid
? ? ? ?2.將每個object聚類到最近的medoid
? ? ? ?3. 更新每個類的medoid，計算objective function?
? ? ? ?4. 選擇最佳參數
? ? ? ?4. 返回2，當各類medoid不再變化的時候stop
復雜度：
? ? ? ?O（(n^2)d）
? ? ? ?-計算各點間兩兩距離O（(n^2)d）
? ? ? ?-指定類：O(kn) ? ,k是類數
5.特點：
? ? ? ?-聚類結果與初始點有關（因為是做steepest descent from a random initial starting oint）
? ? ? ?-是局部最優解
? ? ? ?-在實際做的時候，隨機選擇多組初始點，最后選擇擁有最低TSD（Totoal Squared Distance）的那組
6.KMeans和KMedoid的實現
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2.?Model-based——GMM（Gaussian Mixture Model）
1.GMM概念：
? ? ? ? ? -將k個高斯模型混合在一起，每個點出現的概率是幾個高斯混合的結果。
? ? ? ? ? -假設有K個高斯分布，每個高斯對data points的影響因子為πk，數據點為x，高斯參數為theta，則
? ? ? ? ? -要估計的模型參數為每個類的影響因子πk，每個類的均值（μk）及協方差矩陣（Σk）
2. GMM的似然函數：
? ? ? ? ? log-likelihood function:
? ? ? ? ? 假設N個點的分布符合i.i.d，則有似然函數
? ? ? ? ? 問題是，對于這樣的一個似然函數，用gradient descent的方法很難進行參數估計（可證明）
? ? ? ? ? 所以用前面我們講過的EM（expectation maximization）算法進行估計：
? ? ? ? ? 引入中間latent項z(i)，其分布為Q,用EM算法，就有上面的恒等，那么為什么是恒等呢？來看看講EM的這篇文章，第三張的開頭寫的，=constant，也就是說與z(i)無關了，而等于p(x(i)；theta)，這也就是說可以用混合高斯模型的概率表示了。
3. EM具體應用到GMM參數求解問題：
E-step: 根據已有observed data和現有模型估計missing data：Qi(zk)
M-step: 已經得到了Q，在M-step中進行最大似然函數估計（可以直接用log-likelihood似然函數對參數求偏導）
4.GMM的實現
5. K-Means與GMM的比較：
? ? ? ? ? -KMeans：
1. Objective function：§Minimize the TSD 2. Can be optimized by an EM algorithm. ? ? ? ? ??§E-step: assign points to clusters. ? ? ? ? ??§M-step: optimize clusters. ? ? ? ? ??§Performs hard assignment during E-step. 3. Assumes?spherical clusters?with equal probability of a cluster.
? ? ? ? ? -GMM：
1. Objective function：§Maximize the log-likelihood. 2. EM algorithm： ? ? ? ? ??§E-step: Compute posterior probability of membership. ? ? ? ? ??§M-step: Optimize parameters. ? ? ? ? ??§Perform soft assignment during E-step. 3. Can be used for?non-sphericalclusters. Can generate clusterswith different probabilities.
3. Dimensionality Reduction Approach: Spectral Clustering?
1. Spectral clustering要解決的問題：
上面的KMeans不能能解決一些問題，如圖所示：
而這種問題可以通過譜聚類（spectral clustering）解決。將數據展開到兩個特征向量空間，即得：
下面我們介紹譜分解的算法~
2.clustering objectives:
? ? ? ? ? 將邊權賦值為兩點之間的similarity，做聚類的目標就是最小化類間connection的weight。
比如對于下面這幅圖，分割如下
? ? ? ? ? 但是這樣有可能會有問題，比如：
由于Graph cut criteria 只考慮了類間差小，而沒考慮internal cluster density.所以會有上面分割的問題。這里引入Normalised-cut(Shi & Malik, 97')。
3. 改進版：Ncut
? ? ? ? ? -consider the connection between groups relative to the density of each group:
? ? ? ? ? 其中，vol 是每個group的volume，也就是normalize by group volume.
? ? ? ? ? 最后的目標是最小化Ncut(A,B).
4. Ncut 的求解：
? ? ? ? ? -Matrix Representation:
? ? ? ? ? -Objective Function of Ncut:
詳見wiki上的求解過程，這里不再贅述。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的聚类算法K-Means, K-Medoids, GMM, Spectral clustering，Ncut .的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
