鏡像、正交投影和切變的推導都可根據縮放變形而來。在要縮放方向上去縮放因子k,如果|k|<1，物體"收縮"， |k|>1,物體“膨脹”；k=0,正交投影；k<0,鏡像； 切變稍有不同。

1. 縮放

01. 沿坐標軸縮放

2D中有兩個縮放因子Kx和Ky，p和q是原來的基向量，縮放因子單獨影響基向量，得到p`和q`：

得到縮放矩陣：

3D中增加縮放因子Kz

02.沿任意方向縮放

設n為平行于縮放方向的單位向量，k為縮放因子，縮放沿著穿過原點的并平行于n的直線（2D中）或平面（3D中）進行。

先討論2D中的推導過程。我們需要推導一個表達式，給定向量v，可以通過v,n和k來計算v`。將v和v`分解為平行和垂直于n的分向量

v||是v在n上的投影

v⊥垂直于n，不會受縮放影響

v`||受縮放因子影響

推導得到v`

通過表達式來推導基向量

通過基向量構建矩陣，得到以單位向量n為縮放方向，以k為縮放因子的縮放矩陣

同樣的原理運用在3D中

是scale(縮放)的縮寫S(n,k)表示縮放矩陣

2.正交投影

投影意味和降維操作，將所有的點拉平到要投影的直線或平面上，從原來的點到投影點的直線相互平行，這就是正交投影。透視投影是另一種投影。

01. 向坐標軸或平面上投影

通過將垂直方向上縮放因子設為0來實現，如將3D點投影到xy平面，則拋棄z分量，通過將z方向上的縮放因子設為0實現。

P是projection(投影)的縮寫，2D中，Px表示向x軸投影，Py同理：

3D中，Pxy表示向xy平面投影，其余同理：

02. 向任意指向或平面投影

投影有垂直于直線或平面的向量n定義，通過使n方向上的縮放因為0就能導出任意方向的投影矩陣。P(n)表示向垂直于向量n的軸或平面投影矩陣，S(n,0)表示在n方向上的縮放因子為0的縮放矩陣.

2D：

3D:

3. 鏡像

也叫做反射，與正交投影相似，正交投影將縮放值k設為0，而鏡像則設為-1.

R是reflect(反射)的縮寫。2D:

3D:

4.切變（Shearing）

切變是坐標系的變換，非均勻的拉伸。切變時候，角度變化，但是面積或體積不變。也可以理解為坐標軸間的角度變化，造成的扭曲。

如下圖，這是x坐標根據y坐標的切變，機器人的y坐標沒有變化，只有x坐標變化了，變化后的坐標x`可以理解為將y坐標乘以切變因子s與原坐標x的和：x` = x + sy。如果是3D則增加z坐標的切變因子t：?x` = x + sy，y` = y + tz

2D中切變矩陣為：

x坐標根據y坐標的切變

y坐標根據x坐標的切變

x,y坐標被z坐標切變

總結

以上是生活随笔為你收集整理的沿任意方向缩放、镜像、正交投影及切变及其推导的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。