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　　回溯法是一種通用的搜索算法，幾乎可以用于求解任何可計算的問題。算法的執行過程就像是在迷宮中搜索一條通往出口的路線，總是沿著某一方向向前試探，若能走通，則繼續向前進；如果走不通，則要做上標記，換一個方向再繼續試探，直到得出問題的解，或者所有的可能都試探過為止。
　　下面，用經典的8皇后問題為例來講解如何使用回溯的思想解決問題。

　　8皇后問題是：在8×8的棋盤上擺放8個皇后，使其不能互相攻擊，即任意的兩個皇后不能處在同一行，同一列，或同一斜線上。可以把八皇后問題拓展為n皇后問題，即在n×n的棋盤上擺放n個皇后，使其任意兩個皇后都不能處于同一行、同一列或同一斜線上。
　　首先需要對棋盤進行描述。直觀地，棋盤可以用二維數組表示，有皇后的棋格對應數組元素值為1，無皇后的棋格對應數組元素值為0。但這種存儲結構并不是最簡單有效的選擇。

　　圖8.21中左邊部分給棋盤的行、列編了號，提供的擺放方法，就是問題的一個解。右邊的部分，將各行上皇后所在的列數記錄下來，用這8個數字（4, 6, 8, 2, 7, 1, 3, 5），也構成了對問題解的一種描述。

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圖8.21 8皇后問題的一個解

　由此可以看出，可以定義一個一維數組int x[N];，用x[i]的值表示第i行上皇后所在的列數，n皇后問題的解可以用（x[1], x[2], ….. x[n]）的形式描述。
　　解決了數據表示的問題，設計數據處理的方法。這里要用回溯的策略，設計計算機對n皇后問題的求解方法。以4皇后為例，如圖8.22所示，在圖8.22(a)中，第1行第1列上放置一個皇后，圖8.22(b)中確定第2行的可能放法，在嘗試第1列、第2列由于相互攻擊而放棄之后，確定在第3列放置可以繼續，在圖8.22(c)中繼續對第3行進行考察，發現將所有4列都嘗試過了，也沒有辦法將皇后安排一個合適的位置，對第4行做任何的嘗試都沒有意義，這時產生回溯，結果是在圖8.22(d)中將第2行的皇后安排到第4列，然后第3行的暫時可以放在第2列，在圖8.22(e)中試著確定第4行的皇后，卻發現無解再次回溯，只能夠如圖8.22(f)所示將第1行的皇后放到第2列，再經圖8.22(g)、(f)之后找到4皇后問題的一個解，那就是圖8.22(g)的（2, 4, 1, 3）。

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圖8.22 用回溯找出4皇后問題一個解的過程


　　在圖8.23中，給出了求出4皇后問題所有解的完整過程的描述。圖中（1 * * *)對應圖8.22(a)中第1行皇后安排在第1列，其他行待定的狀態，接下來的（1 3 * *）對應了圖8.22(b)中第2行皇后安排在第3列的狀態。可以判斷出在這個狀態下，繼續嘗試并不能夠完成求解，于是發生回溯（其下方的B代表回溯），于是下一個嘗試的狀態將是（1 4 * *），……。將這樣的過程繼續下去，能夠找出4皇后問題的所有解（2 4 1 3）和（3 1 4 2），如圖8.23中兩個加網格背景的結點。?

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圖8.23　求出4皇后問題所有解的完整過程

　　搞清楚用回溯法求解的過程后，將關注如何基于（x[1], x[2], ….. x[n]）形式的解結構，寫出讓計算機完成求解過程的代碼。4皇后問題尚且可以在紙上畫出解，8皇后問題的可能解有8!=40320種，最終解有92種，必須要依靠計算機求解了。?
　　什么樣的解才是可行的？需要描述出任何兩個皇后可以“互相攻擊”這樣的條件：?
　　（1）有兩個皇后處在同一行：解的結構（x[1], x[2], ….. x[n]）已經保證同一行不會出現兩個皇后。?
　　（2）有兩個皇后處在同一列：表示為x[i]=x[k]，假如在圖8.23中出現表示為（1 1 * *）、（4 2 3 2）之類的結點，則說明有兩個皇后在同一列了。?
　　（3）有兩個皇后處在同一斜線：若兩個皇后的擺放位置分別是第i行第x[i]列、第k行第x[k]列，若他們在棋盤上斜率為-1的斜線上，滿足條件i-x[i]=k-x[k]，例如（1 4 3 *）、（4 1 2 *）；若他們在棋盤上斜率為1的斜線上，滿足條件i+x[i]=k+x[k]。將這兩個式子分別變換成i-k=x[i]-x[k]和i-k=x[k]-x[i]，例如（3 4 1 *）。綜合兩種情況，兩個皇后位于同一斜線上表示為|i-k|=|x[i]-x[k]|。?
　　在下面的程序實現中，place(x, k)函數用于判斷在第k行第x[k]列放置皇后，是否會與前面擺放好的皇后產生相互攻擊。只要有某行（第i行）的皇后與這個第k行的皇后處在同一列（x[i]=x[k]）或者處在同一斜線（|i-k|=|x[i]-x[k]|），則立即返回假(0)，表示不可能構成解。?
　　再接下來，就是在實現問題求解的nQueens(x, n)函數中，從第1行開始，逐行逐列地考察皇后的擺放，當遇到某一行所有可能情況試過不必再深入到下一行考察時，及時回溯到上一行，接著考察。?
　　程序實現中，將保存解的數組定義成了動態數組。多分配一個單元，因為數組的首元素x[0]一直空閑未用，有用的單元是x[1]到x[n]。?

#include <stdio.h> #include <math.h> #include <malloc.h>void nQueens(int *x, int n); /*求解n皇后問題*/ int place(int *x, int k); /*判斷是否可以在第k行第x[k]列擺放皇后*/ void printSolution(int *x, int n); /*輸出求解結果*/ int main() {int n;int *x; /*存放求解結果的數組首地址*/scanf("%d", &n);x=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1)); /*動態分配數組空間， x[0]空閑*/nQueens(x, n);return 0; } /*如果一個皇后能放在第k行第x[k]列，則返回真(1)，否則返回假(0)*/ int place(int *x, int k) {int i;/*對前k-1行，逐行考察*/for(i=1; i<k; i++){/*如果前k-1行中有某行的皇后與第k行的在同一列或同一斜線，返回0*/if((x[i]==x[k])||(fabs(x[i]-x[k])==fabs(i-k)))return 0;}/*能執行下一句，說明在第k行第x[k]列擺放皇后，不會互相攻擊*/return 1; } /*求解在n×n的棋盤上，放置n個皇后，使其不能互相攻擊*/ void nQueens(int *x, int n) {int k;k = 1; /*k是當前行*/x[k] = 0; /*x[k]是當前列，進到循環中，立刻就會執行x[k]++，而選擇了第1列*/while(k>0)/*當將所有可能的解嘗試完后，k將變為0，結束求解過程*/{x[k]++; /*移到下一列*/while(x[k]<=n && !place(x, k)) /*逐列考察，找出能擺放皇后的列x[k]*/x[k]++;if(x[k]<=n) /*找到一個位置可以擺放皇后*/{if(k==n) /*是一個完整的解，輸出解*/printSolution(x, n);else /*沒有完成最后一行的選擇，是部分解，轉向下一行*/{k++; /*接著考察下一行*/x[k]=0; /*到循環開始執行x[k]++后，下一行將從第1列開始考察*/}}else /*對應x[k]>n的情形，這一行已經沒有再試的必要，回溯到上一行*/k--; /*上一行在原第x[k]列的下1列開始考察*/} } /*輸出求解結果*/ void printSolution(int *x, int n) {int i, j;for (i = 1; i <= n; i++) /*輸出第i行*/{for (j=1; j<=n; j++){ if (j == x[i]) /*第x[i]列輸出Q，其他列輸出*號 */printf("Q");elseprintf("*");}printf("\n");}printf("\n"); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第五周实践项目8 8皇后问题的回溯求解_栈结构的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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