一個神奇的算法，求最大連通分量用O（n）的時間復雜度，真實令人不可思議。轉自

廢話少說，先上題目

題目描述：

給出一個有向圖G，求G連通分量的個數和最大連通分量。

輸入：

n,m，表示G有n個點，m條邊

下面m行每行包含 x，y，表示有一條x到y的有向邊

輸出：

第一個數表示連通分量的個數，第二個數代表最大連通分量

輸入示例（如下圖）

6 8 1 2 1 4 2 3 2 5 3 6 4 5 5 1 5 6

輸入示例

4 3

很多人會想到DFS，但是時間復雜度為O（n^2），但是時間容易超限，所以我們要用到Tarjan

先理清一下概念：

連通分量：對于圖G來的一個子圖中，任意兩個點都可以彼此到達，這個子圖就被稱為圖G的連通分量（一個點就是最小的連通分量）

最大連通分量：對于圖G的一個子圖，這個子圖為圖G的連通分量，且是圖G所有連通分量中包含節點數最多的那個，即為G的最大聯通分量

時間戳：搜索時第幾個搜索到這個點。如搜索順序是1->2->3->6則6的時間截為4

下面就是tarjan的思路（第一次看不懂可以跳過，直接看詳細步驟，回來再看）：

每個點都有兩個參數：low，dfn。dfn表示這個點的時間戳，而low代表這個點所能到達的最小的時間戳，開始low都等于dfn，但會經過不斷更新而減少。

從1節點進行深度優先搜索，途中用樹（一個轉化為棧的樹）維護。

當遇到一個點時，有如下判斷：

1、如果這個點沒有訪問過，就將這個點加入樹（棧）

2、如果這個點訪問過，且在樹（棧）里，與這個點的low比較，更新自己的low

返回時更新low

當一個點遍歷所有的邊后這個點的low還是等于dfn，將個點及以上出棧，這個點及棧以上的點構成一個連通分量。

來一點Chinese++（就是偽代碼）　　

void tarjan(int 當前點) {這個點的low=dfn=時間戳;將這個點入棧;標記這個點入棧;枚舉這個點連接的所有邊{如果目標點沒有被訪問過{tarjan(目標點);更新當前點的low; } 如果目標點被訪問過&&在棧中{更新當前點的low; } }如果當前點的low==dfn{將這個點及棧以上的點出棧，標記成一個強連通分量; ans++; } }

詳細過程：

開啟黑暗之門

?

開始，從1節點開始，時間截和low都是1，將1入棧

stack：1,

走到2節點，2的時間戳dfn和low都是2,2入棧

stack：1,2

?

以此類推，將3、6入棧，時間戳分別為3、4

stack：1,2,3,6

?

此時，發現6節點遍歷了其所有出邊（本來就沒有）以后，它的low等于dfn，這就說明了6號節點沒有路徑能回到能到達它的節點，所以6就是一個單獨的連通分量，因此將6出棧，再回溯，此時在棧中比6（含）高的點都出棧，這些點構成一個連通分量（因為此時比6在棧頂，所以6是一個單獨的連通分量）ans++

stack:1,2,3

?

和剛才一樣，3節點的所有出邊已經遍歷一般，但low還是和dfn相等，所以3出棧，因為此時3在棧頂，所以3是一個單獨的連通分量。ans++

stack：1,2

?

再次遍歷從2遍歷到5，將5入棧，并且low和dfn都為5。

stack：1,2,5

然后5搜索到6，但是6不在棧里面，所以不管它

這是搜索到了1，發現1的時間戳1小于5的low，所以將5的low更新為1,。這時發現5沒有其他邊可以走了，所以返回

返回到2時，發現5的low比2的low小，所以更新2的low為1，繼續返回到1

再從1走到4，4的時間戳和low為6，將4入棧

stack：1,2,5,4　　

從4走到5，發現5在棧中，且5的low比4的low小，所以4的low變成1，因為沒有邊再返回到1

此時，1的所有邊都走完啦，并且1的low等于dfn，所以把1及以上的節點出棧，構成連通分量，ans++

?繼續枚舉每一個點，如果這個點的時間戳為0（也就是沒有訪問過）tarjan(i);

現在貼上代碼，但是沒有完，我會對原理做詳細解釋：

void tarjan(int u) {in++;dfn[u]=in;low[u]=in;S.push(u);vis[u]=1;for(int e=head[u];e;e=next[e]){if(!dfn[to[e]]){tarjan(to[e]);low[u]=min(low[to[e]],low[u]);}else if(vis[to[e]])low[u]=min(low[u],dfn[to[e]]);}if(low[u]==dfn[u]){while(!S.empty() && S.top()!=u){vis[S.top()]=0;S.pop(); } vis[u]=0;S.pop();ans++;} }

演員表：

in:時間戳下標

dfn[i]:i節點的時間戳

low[i]:i所能到達的最小的時間戳

head[i],next[i],to[i]:鄰接表群演

vis[i]:i是否在棧里

S：棧

ans:計數

u：當前點

原理詳解：

1、其實雖說整個過程都在用棧維護，但是原理卻是一顆樹，比如當搜索到1、2、3、6時，樹是這樣的

你想象成樹就好，當我們確定6為一個單獨的連通分量的時候，把它咔嚓掉。現在6及以下的節點（這次沒有）成為一顆新的樹。

然后再用霜之哀傷砍掉3，3及以下節點（也是沒有）又變成了一個新的樹。

然后我們搜索到5，將5加入樹

然后再從1搜索到4，加入樹

然后返回到1，拔出1節點的霜之哀傷與耐奧祖融合，成為新的巫妖王。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Tarjan 算法详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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