文章目錄

• 第一章 離散時間信號與系統
• • 離散時間信號
  • • 幾種常見的信號
    • 離散周期序列
    • 序列的運算
  • 離散時間信號的傅里葉變換和z變換
  • • 離散時間信號燈的傅里葉變換
    • 性質
    • z變換
    • 逆z變換
    • z變換的性質
    • z變換域DTFT的關系
    • Parseval定理
  • 離散時間系統
  • • 線性系統
    • 時不變系統
    • 線性時不變系統
    • 穩定系統和因果系統

第一章 離散時間信號與系統

離散時間信號

離散時間信號常用序列來表示。序列是時間上不連續的一串樣本值的幾何{x(n)},n為整型變量，n為整型變量，x(n)表示序列中的第n個樣本值符號，{$?$}表示全部樣本值的集合
{x(n)}既可以使實數序列，也可以是復數序列。{x(n)}的復共軛序列用{x*(n)}表示，為方便通常去掉{}
用x(n)表示序列

離散時間信號x(n)是從連續時間信號$x_a(t)$采樣得到的，對于等時間間隔的采樣(均勻采樣)
$$x(n)=x_a(t){|}_{t=nT}=x_a(nT)$$
T表示兩個樣本間的時間間隔稱作采樣周期，采樣周期的倒數稱為采樣頻率，即$f_s=\frac{1}{T}$

幾種常見的信號

1.單位脈沖序列

$$\delta (n)=\{\begin{array}{l}1,n=0\\ 0,n?=0\end{array}$$

序列$\delta (n)$又稱為離散沖激，或簡稱為沖激。它的作用類似于模擬系統中的單位沖激函數$\delta (t)$
但$\delta (t)$是非現實的信號，而$\delta (n)$是現實的序列

2.單位階躍序列

$$u(n)=\{\begin{array}{l}1,n\ge 0\\ 0,n<0\end{array}$$

類似連續時間信號中的單位階躍信號

3.矩形序列

$$R_N(n)=\{\begin{array}{l}1,0\le n\le N?1\\ 0,n<0,n\ge N\end{array}$$

從n=0開始，含有N個幅度為1的數值，其余為零

4.實指數序列

$$x(n)=a^{n}u(n)$$

式中，a為不等于0的任意實數，當|a|<1時，序列收斂，當|a|>1時，序列發散

5.正弦序列

$$x(n)=sin({\omega }_{0}n)$$

${\omega }_0$是數字域角頻率，單位是rad(弧度)

6.復指數序列

$$x(n)=(r{e}^{j{\omega }_0}{)}^n=r^n[cos({\omega }_0)+jsin({\omega }_{0}n)]$$

復指數序列的底數$a=r{e}^{j{\omega }_0}$,當r=1時，x(n)的實部和虛部分別是余弦和正弦序列
復指數序列可以用其幅度和相位表示，也可以用實部進而虛部來表示

離散周期序列

對于一個周期為N的離散周期序列記做$\overline{x}(n)$(頂上應該是波浪線，沒有固用橫線代替)
$$\overline{x}(n)=\overline{x}(n+kN)，0\le n\le N?1,k為任意正整數$$

討論$x(n)=sin({\omega }_{0}n)$的周期性
則$x(n+N)=sin({\omega }_0(n+N))$
滿足${\omega }_{0}N=2\pi i$,i為整數時，根據定義
$x(n)=x(n+N)$
所以sin(\omega_0 n)為周期序列，周期是$N=\frac{2\pi i}{{\omega }_0}$,當i=1時，N$N=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$成了最小的函數周期
對于復指數序列，當r=1時周期性與正弦序列相同

序列的運算

(1)序列的相加
兩個長度相等的序列x(n),y(n),則z(n)=x(n)+y(n)表示這兩個序列的相加。
(2)序列的相乘
f(n)=x(n)y(n),將兩序列逐值相乘形成新序列
(3)序列的移位
序列x(n)平移$n_0$個序數，可以表示為$y(n)=x(n?n_0)$.$n_0>0$時，y(n)是x(n)的延遲，$n_0<0$時，y(n)超前x(n)
(4)序列的能量以及序列的絕對值
序列的能量定義
$$S=\sum _{n=?\infty }^{\infty }|x(n){|}^2$$
如果序列的能量滿足
$$\sum _{n=?\infty }^{\infty }|x(n){|}^2<\infty$$
則$x(n)$為平方可和序列。
如果序列x(n)滿足
$$\sum _{n=?\infty }^{\infty }|x(n)|<\infty$$
則$x(n)$為絕對可和序列
如果一個序列x(n)的每一個樣本的絕對值均小于某一個有限的正整數$B_x$,則x(n)為有界序列，即
$$|x(n)|\le B_x\le \infty$$
(5)實序列的偶部和奇部
對于所有的n，有x(n)=x(-n),則x(n)稱為偶序列，x(n)=-x(-n),則x(n)稱為奇序列
任何序列均可以分解成偶對稱序列和奇對稱序列
$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$
$x_e(n)$和$x_o(n)$也分別稱為x(n)的偶部和奇部，它們分別等于
$x_e(n)=\frac{1}{2}[x(n)+x(?n)]$
$x_o(n)=\frac{1}{2}[x(n)?x(?n)]$
(6)任意序列的單位脈沖序列表示
任一新序列都可以表示成單位脈沖蓄力的移位的加權和，即
$x(n)={\sum }_{m=?\infty }^{\infty }x(m)\delta (n?m)$

離散時間信號的傅里葉變換和z變換

離散時間信號燈的傅里葉變換

離散時間傅里葉變換即DTFT(discrete-time Fourier transform)
序列x(n)的DTFT定義為
$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$
（類似傅里葉級數）
式中，$\omega$為數字角頻率，它是頻率f對采樣頻率fs作歸一化后的角頻率
$\omega =\frac{2\pi f}{f_s}$
$X(e^{j\omega })$是$\omega$的連續函數，并且是以$2\pi$為周期的
上式級數不一定收斂，如單位階躍序列
收斂的充分條件是
${\sum }_{n=?\infty }^{\infty }|x(n)e^{?j\omega n}|={\sum }_{n=?\infty }^{\infty }|x(n)|<\infty$
即x(n)絕對可和，則它的DTFT一定存在。同時，也可以推斷，有限長序列總是滿足絕對可和條件的，其DTFT也總是存在的。
用$e^{j\omega m}$乘以定義式的涼拌，并在$\omega$的一個周期的積分
可得
$${\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega m}d\omega ={\int }_{?\pi }^{\pi }[\sum _{n=?\infty }^{\infty }x(n)e^{?j\omega n}]e^{j\omega m}$$
$$=\sum _{n=?\infty }^{\infty }x(n){\int }_{?\pi }^{\pi }{e}^{j\omega (m?n)}d\omega =2\pi \sum _{n=?\infty }^{\infty }x(n)\delta (m?n)$$
即$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$
這就是離散時間信號的逆傅里葉變換(IDTFT)
對應關系
$X(e^{j\omega })=DTFT[x(n)]$
$x(n)=IDTFT[X(e^{j\omega })]$

一般來說，$X(e^{j\omega })$是實變量$\omega$的復函數，可以用實部和虛部表示
$X(e^{j\omega })=Re[X(e^{j\omega })]+jIm[X(e^{j\omega })]$
也可以用幅度和相位表示
$X(e^{j\omega })=|X(e^{j\omega })|e^{j\phi (\omega )}$

性質

信號與系統中有詳述

z變換

z變換的定義式
$$X(z)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }x(n)z^{?n}$$
式中，z是復變量，也可記$\mathcal{Z}[x(n)]=X(z)$
對于所有的序列，z變換并不總是收斂的。收斂區域是
$R_{x?}<|z|<R_{x+}$(一般$R_{x?}$可以小到0，$R_{x+}$可以大到$\infty$)

收斂域的討論
(1)有限長序列。
僅有有限個數的序列值是非零值，從而
$X(z)={\sum }_{n=n_1}^{n_2}x(n)z^{?n}$
式中，$n_1$和$n_2$是有限整數，收斂域至少是0<|z|<$\infty$
(2).右邊序列。右邊序列是n<$n_1$時x(n)=0的序列，z變換為
$X(z)={\sum }_{n=n_1}^{\infty }x(n)z^{?n}$
右邊序列的收斂區域是一個半徑為$R_{x?}$,即
|z|>$R_{x?}$
若$n_1\ge$,則z變換在z=$\infty$處收斂,反之，若$n_1$<0,則它在z=$\infty$處將不收斂
(3)左邊序列。左邊序列是n>$n_2$時x(n)=0的序列，z變換為
$X(z)={\sum }_{n=?\infty }^{n_2}x(n)z^{?n}$
左邊序列的收斂區域是一個圓的內部，即
|z|<$R_{x+}$
若$n_2$<0,則左邊序列的z變換在z=0處收斂
(4)雙邊序列。一個雙邊序列可以看做一個左邊序列和一個右邊序列之和，因此雙邊序列z變換的收斂域就是這兩個序列z變換的公共收斂區間
$X(z)={\sum }_{n=n_1}^{\infty }x(n)z^{?n}+{\sum }_{n=?\infty }^{n_2}x(n)z^{?n}$
所以收斂域為
$R_{x?}<|z|<R_{x+}$
若$R_{x?}>R_{x+}$,則沒有公共區域，不能收斂

逆z變換

公式
$$x(n)=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n?1}dz$$

直接用公式求很麻煩，具體求解在信號與系統里有

z變換的性質

具體在信號與系統里

z變換域DTFT的關系

一個序列x(n)的z變換是
$$X(z)=\sum _{n=?\infty }^{\infty }x(n)z^{?n}$$
DTFT是
$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{\infty }x(n)e^{?jn\omega }$$
令$z=e^{j\omega }$
$$X(z)|z=e^{j\omega }=\sum _{n=?\infty }^{\infty }x(n)e^{?jn\omega }$$
可以看出，當$z=e^{j\omega }$時，z變換和DFTF相等。也就是說，采樣序列圓上的z變換就等于該采樣序列的DTFT。由于$e^{j\omega }=e^{j(\omega +2k\pi )}$,所以$X(e^{j\omega })$是以$2\pi$為周期的周期函數，z平面單位圓上的一周正好對應$X(e^{j\omega })$的一個周期

Parseval定理

離散時間系統

將輸入序列映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運算，亦即將一個序列變換成另一個序列的系統。記為
$$y(n)=T[x(n)]$$

線性系統

滿足疊加原理

時不變系統

$T[x(n)]=y(n)$
$T[x(n?n_0)]=y(n?n_0)$
x(n)移位和變換后移位是等效的

線性時不變系統

單位脈沖響應可以表示為
$$h(n)=T[\delta (n)]$$
根據上式可以得到任一輸入序列x(n)的響應
$$y(n)=T[x(n)]=T[\sum _{k=?\infty }^{\infty }x(k)\delta (n?k)]$$
由于系統是線性的，所以
$$y(n)=\sum _{k=?\infty }^{\infty }x(k)T[\delta (n?k)]$$
由于系統是時不變的，即有$T[\delta (n?k)]=h(n?k)$
從而得到
$$y(n)=\sum _{k=?\infty }^{\infty }x(k)h(n?k)=x(n)?h(n)$$

matlab 中離散用conv函數

穩定系統和因果系統

只要輸入序列是有界的，其輸出必定是有界的，這樣的系統稱為穩定系統。穩定系統的充要條件是其單位脈沖響應應絕對可和，即
$$\sum _{n=?\infty }^{\infty }|h(n)|<\infty$$

因果系統就是系統的輸出y(n)取決于此時，以及此時以前的輸入，即x(n),x(n-1),x(n-2)等。相反，如果系統的輸出y(n)不僅取決于現在和過去的輸入，而且取決于未來的輸入，如x(n+1),x(n+2)等，這在時間上就違背 了因果規律

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数字信号处理第一章 离散时间信号与系统的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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