二分圖：

????? 頂點可以分類兩個集合X和Y，所有的邊關(guān)聯(lián)在兩個頂點中，恰好一個屬于集合Ｘ，另一個屬于集合Ｙ。

最小覆蓋：

????? 最小覆蓋要求用最少的點（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）讓每條邊都至少和其中一個點關(guān)聯(lián)。可以證明：最少的點（即覆蓋數(shù)）＝最大匹配數(shù)

Konig定理：

???? 二分圖的最小頂點覆蓋數(shù)等于最大匹配數(shù)。

? 證明：

?? 為主便敘述，假設(shè) G 分為左邊 X 和右邊 Y 兩個互不相交的點集。。。。。。

???? 假設(shè)G經(jīng)過匈牙利算法后找到一個最大匹配M，則可知G中再也找不到一條增廣路徑。

???? 標記右邊未匹配邊的頂點，并從右邊未匹配邊的頂點出發(fā)，按照邊：未匹配->匹配->未匹配...，的原則標記途中經(jīng)過的頂點，則最后一條經(jīng)過的邊必定為匹配邊。重復上述過程，直到右邊不再含有未匹配邊的點。

???? 記得到的左邊已標記的點和右邊未標記的點為S， 以下證明S即為所求的最小頂點集。

1 . | S | == M ?
??? 顯然，左邊標記的點全都為匹配邊的頂點，右邊未標記的點也為匹配邊的頂點。因此，我們得到的點與匹配邊一一對應(yīng)。

2 ? . S 能覆蓋 G 中所有的邊。

?????? 上途 S 中點所得到的邊有以下幾種情況：

?????? （ 1 ）左右均標記；

?????? （ 2 ）左右均無標記；

?????? （ 3 ）左邊標記，右邊未標記；

?????? 若存在一條邊 e 不屬于 S 所覆蓋的邊集，則 e 左邊未標記右邊標記。

如果 e 不屬于匹配邊，那么左端點就可以通過這條邊到達（從而得到標記）；如果 e 屬于匹配邊，那么右端點不可能是一條路徑的起點，于是它的標記只能是從這條邊的左端點過來的左端點就應(yīng)該有標記。

?

3 ? . S 是最小的覆蓋。

?????? 因為要覆蓋這 M 條匹配邊至少就需要 M 個點。

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二分图最小覆盖的Konig定理及其证明的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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