線(xiàn)性多播/線(xiàn)性廣播/線(xiàn)性擴(kuò)散/一般線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)碼

原文：出處
線(xiàn)性多播（Linear Multicast，LM）、線(xiàn)性廣播（Linear Broadcast，LB）、線(xiàn)性擴(kuò)散（Linear Dispersion，LD）、一般線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)碼（Generic Linear Network Code，GLNC）是網(wǎng)絡(luò)編碼理論中基礎(chǔ)且容易混淆的概念。

在給出這四個(gè)概念的定義前先了解幾個(gè)定義：

• < # > 表示的是向量集合# 生成的向量空間

對(duì)于節(jié)點(diǎn)T，VT = <{fd : d ∈ In(T)}> 表示節(jié)點(diǎn)T 所有輸入鏈路的全局編碼向量集合{fd: d ∈ In(T)} 所生成的向量空間

對(duì)于節(jié)點(diǎn)集合$?$ ，KaTeX parse error: Undefined control sequence: \CUP at position 12: V_{\wp} = <\?C?U?P?_{T \in \wp}V_T… 表示節(jié)點(diǎn)集合$?$ 中節(jié)點(diǎn)所有輸入鏈路的全局向量集合所生成的向量空間

對(duì)于鏈路集合ξ ，Vξ = < fe : e ∈ ξ > 表示鏈路集合ξ 的全局編碼向量集合所生成的向量空間

• maxflow(T) 表示信源節(jié)點(diǎn)S 到非信源節(jié)點(diǎn)T 的最大流
• maxflow{$?$ } 記做信源節(jié)點(diǎn)S 到非信源節(jié)點(diǎn)集合$?$ 的最大流
• maxflow{ξ} 記做信源節(jié)點(diǎn)S 到任意鏈路集合ξ 的最大流
• dim( & ) 表示向量空間的維度，如dim(VT) = 2 表示節(jié)點(diǎn)T 所有輸入鏈路的全局編碼向量集合所生成的向量空間的維度為2

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有了上面的基礎(chǔ)定義，我們看看線(xiàn)性多播/線(xiàn)性廣播/線(xiàn)性擴(kuò)散/一般線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)碼 的一般定義：
線(xiàn)性多播
在有向無(wú)環(huán)網(wǎng)絡(luò)中，記列向量fd 為有限域F 上ω 維線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼的全局編碼向量，對(duì)于任何非信源節(jié)點(diǎn)T ，均存在由其所有輸入鏈路d 的全局編碼向量fd 的集合所生成的向量空間，記做VT = <{fd : d ∈ In(T)}> 。若對(duì)于每個(gè)滿(mǎn)足maxflow(T) ≥ ω 的非信源節(jié)點(diǎn)T ，均有

dim(VT) = ω

此時(shí)的線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼稱(chēng)為線(xiàn)性多播。

線(xiàn)性廣播
在有向無(wú)環(huán)網(wǎng)絡(luò)中，記列向量fd 為有限域F 上ω 維線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼的全局編碼向量，對(duì)于任何非信源節(jié)點(diǎn)T ，均存在由其所有輸入鏈路d 的全局編碼向量fd 的集合所生成的向量空間，記做VT = <{fd : d ∈ In(T)}> 。若對(duì)于每個(gè)的非信源節(jié)點(diǎn)T ，均有

dim($V_T$) = min{ω, maxflow(T)}

此時(shí)的線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼稱(chēng)為線(xiàn)性廣播。

線(xiàn)性擴(kuò)散
在有向無(wú)環(huán)網(wǎng)絡(luò)中，記列向量fd 為有限域F 上ω 維線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼的全局編碼向量，對(duì)于任何非信源節(jié)點(diǎn)T ，均存在由其所有輸入鏈路d 的全局編碼向量fd 的集合所生成的向量空間，記做VT = <{fd : d ∈ In(T)}> ，并記由非信源節(jié)點(diǎn)集合$?$ 的全局編碼向量集合構(gòu)成的向量空間為VT = <{fd : d ∈ In(T)}>，若對(duì)于每個(gè)的非信源節(jié)點(diǎn)集合$?$ ，均有

dim($V_{?}$) = min{ω, maxflow($?$)}

此時(shí)的線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼稱(chēng)為線(xiàn)性擴(kuò)散。

一般線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)碼
有向無(wú)環(huán)網(wǎng)絡(luò)中，記向量fd 和fe 為有限域F 上ω 維線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼的全局編碼向量，對(duì)于任意非空鏈路集合ξ = {e1 , e2 , … , em} ? E，其中?ei = Out(Ti)，1 ≤ i ≤ m，m ≤ ω ，若<fd : d ∈ In(Ti)> 不屬于 <fe : e ∈ ξ{ei} >,
記做$V_{T_i}$ $?$ $V_{|e_i}$ ，則$f_{e_1}$ , $f_{e_2}$, $?$ ,$f_{e_m}$（記做fe ，e ∈ ξ）線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則此時(shí)線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼為一般線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼。

上面談到的四個(gè)性質(zhì)具有逐漸增強(qiáng)的關(guān)系，線(xiàn)性多播包含線(xiàn)性廣播，包含線(xiàn)性擴(kuò)散，包括一般線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼，但反之不一定成立。

一般線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼要求任何鏈路的集合內(nèi)所有向量盡量滿(mǎn)足線(xiàn)性無(wú)關(guān)性（min{ω, maxflow(ξ)} ）；當(dāng)對(duì)任意鏈路放松要求，指定為任意節(jié)點(diǎn)的流入鏈路集合滿(mǎn)足線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則成為線(xiàn)性擴(kuò)散；再對(duì)任意節(jié)點(diǎn)退化為單個(gè)非信源節(jié)點(diǎn)T ，則為線(xiàn)性廣播；最后將單個(gè)節(jié)點(diǎn)約束為maxflow(T) ≥ ω 的非信源節(jié)點(diǎn)T收到所有信息（ω 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的）的要求，就是線(xiàn)性多播。

將上面這段話(huà)再分來(lái)來(lái)說(shuō)：

**線(xiàn)性多播：**對(duì)于最大流大于或等于ω 的所有非信源節(jié)點(diǎn)，均可以收到信源節(jié)點(diǎn)發(fā)出的ω 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的消息。

線(xiàn)性廣播：①. 對(duì)于最大流大于或等于ω 的所有非信源節(jié)點(diǎn)，均可以收到信源節(jié)點(diǎn)發(fā)出的ω 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的消息。②. 所有最大流小于ω 的非信源節(jié)點(diǎn)，均可以同時(shí)收到信源節(jié)點(diǎn)發(fā)出的部分消息，其信息總量等于該節(jié)點(diǎn)的最大流。收到ω 信息量表示收到了整個(gè)信息，線(xiàn)性廣播表示一個(gè)非信源節(jié)點(diǎn)要么收到整個(gè)信息，要么收到最大流信息（每個(gè)進(jìn)入鏈路向量都不相關(guān)）。

**線(xiàn)性擴(kuò)散：**單個(gè)非信源節(jié)點(diǎn)和多個(gè)信源節(jié)點(diǎn)集合均滿(mǎn)足廣播性質(zhì)。線(xiàn)性擴(kuò)散表示一個(gè)非信源節(jié)點(diǎn)的集合要么收到了整個(gè)信息（ω），否則所有流入到這個(gè)集合的鏈路向量不相關(guān)。

下面通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼、線(xiàn)性多播、線(xiàn)性廣播、線(xiàn)性擴(kuò)散和一般線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)編碼之間的包含關(guān)系：

**(d) 線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)碼不是線(xiàn)性多播碼：**非源節(jié)點(diǎn)W 不滿(mǎn)足線(xiàn)性多播性質(zhì)。maxflow(W) > ω = 2 ，而dim(VW) = 1 ≠ ω

**? 線(xiàn)性多播碼不是線(xiàn)性廣播碼：**節(jié)點(diǎn)都滿(mǎn)足最大流大于2（只有節(jié)點(diǎn)W 滿(mǎn)足）的dim(VW) = 2，是線(xiàn)性多播碼。而非源節(jié)點(diǎn)U 的 dim(VU) = 0 ≠ min{ ω = 2, maxflow(U) = 1 } 的性質(zhì)，所以不是線(xiàn)性多播碼

**(b) 線(xiàn)性廣播碼不是線(xiàn)性擴(kuò)散碼：**非源節(jié)點(diǎn)E 都滿(mǎn)足 dim(VE) = min{ ω , maxflow(E) } 的性質(zhì)，是線(xiàn)性廣播碼。但是節(jié)點(diǎn)集合{T,U} 最大流maxflow({T,U}) = 2，ω = 2 ，而fST 和fSU 兩個(gè)列向量線(xiàn)性相關(guān)，所以dim(V{T,U}) = 1，不是線(xiàn)性擴(kuò)散碼。

**(a) 線(xiàn)性擴(kuò)散碼不是一般線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)碼：**當(dāng)fSW 為紅色列向量，任意個(gè)非源節(jié)點(diǎn)（T，U，W）集合的流入鏈接向量都滿(mǎn)足最大線(xiàn)性不相關(guān)性質(zhì)，所以是線(xiàn)性擴(kuò)散碼。但是鏈路fSU 和fSW 鏈路向量相關(guān)（而maxflow(fSU 、fSW ) = 2，ω = 2），不滿(mǎn)足一般線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)碼的性質(zhì)。

(a) 線(xiàn)性擴(kuò)散碼也是一般線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)碼：當(dāng)fSW 為黑色列向量。
最后總結(jié)一下：

對(duì)于線(xiàn)性多播：只看是否存在一個(gè)點(diǎn)，即滿(mǎn)足條件的點(diǎn)

對(duì)于線(xiàn)性廣播：是任意的點(diǎn)

對(duì)于線(xiàn)性擴(kuò)散：是看集合

對(duì)于一般線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)碼，是看集合是否獨(dú)立

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性多播/线性广播/线性扩散/一般线性网络码的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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