高等数学第七版-习题解答：总复习3
習題解答：總復習3
18*. 已知f′′(x)f''(x)f′′(x)存在，證明
lim?x→x0f(x0+h)+f(x0?h)?2f(x0)h2=f′′(x0)\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)}{h^2} = f''(x_0) x→x0?lim?h2f(x0?+h)+f(x0??h)?2f(x0?)?=f′′(x0?)
方法一： 利用Taylor公式，將 hhh 視為自變量，在h=0h=0h=0 處展開分子中的兩個函數：
f(x0+h)=f(x0)+f′(x0)?h+f′′(x0)2?h2+o(h2)f(x0?h)=f(x0)?f′(x0)?h+f′′(x0)2?h2+o(h2)f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot h+\frac{f''(x_0)}{2} \cdot h ^2 +o(h^2)\\ f(x_0-h)=f(x_0)-f'(x_0)\cdot h+\frac{f''(x_0)}{2} \cdot h ^2 +o(h^2) f(x0?+h)=f(x0?)+f′(x0?)?h+2f′′(x0?)??h2+o(h2)f(x0??h)=f(x0?)?f′(x0?)?h+2f′′(x0?)??h2+o(h2)
代回分子易知：
f(x0+h)+f(x0?h)?2f(x0)=f′′(x0)?h2+o(h2)f(x_0+h)+f(x_0-h)-2f(x_0)=f''(x_0) \cdot h ^2 +o(h^2) f(x0?+h)+f(x0??h)?2f(x0?)=f′′(x0?)?h2+o(h2)
代回極限式即得結論。
方法二：使用一次洛必達法則，再根據導數定義求證。注意，此時應對hhh 求導。
lim?x→x0f(x0+h)?f(x0?h)?2f(x0)h2=lim?x→x0f′(x0+h)+f′(x0?h)2h=12[lim?x→x0f′(x0+h)?f′(x0)h+lim?x→x0f′(x0?h)?f′(x0)?h]=12[f′′(x0)+f′′(x0)]=f′′(x0)\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)-2f(x_0)}{h^2} &= \lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x_0+h)+f'(x_0-h)}{2h}\\ &=\frac{1}{2}\left[\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x_0+h)-f'(x_0)}{h}+\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f'(x_0-h)-f'(x_0)}{-h}\right]\\ &= \frac{1}{2}[f''(x_0)+f''(x_0)]=f''(x_0) \end{aligned} x→x0?lim?h2f(x0?+h)?f(x0??h)?2f(x0?)??=x→x0?lim?2hf′(x0?+h)+f′(x0??h)?=21?[x→x0?lim?hf′(x0?+h)?f′(x0?)?+x→x0?lim??hf′(x0??h)?f′(x0?)?]=21?[f′′(x0?)+f′′(x0?)]=f′′(x0?)?
說明：上述推導中，第二行的兩個極限式分別對應f(x0)f(x_0)f(x0?) 的左、右導數。
By Dr. Ma
總結
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