3-2 考研題提示及答案

1、求極限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x?\sin (\sin x)}{x^3}$$

$$\begin{array}{rl}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x?\sin (\sin x)}{x^3}\\ & \stackrel{L^{\prime }Hospital}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sin x?\sin (\sin x){)}^{\prime }}{(x^3{)}^{\prime }}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x?\cos (\sin x)?\cos x}{3x^2}\\ & =\left(\underset{x\to 0}{\lim }\cos x\right)?\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1?\cos (\sin x)}{3x^2}\right)\\ & \stackrel{L^{\prime }Hospital}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2}}{3x^2}=\frac{1}{6}\end{array}$$
注：這里關(guān)鍵是靈活運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小替換和洛必達(dá)法則

$$1?\cos (\sin x)～\frac{1}{2}(\sin x{)}^2～\frac{1}{2}{x}^2$$

2、求極限

$$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{\frac{1}{\ln (1+x^2)}}$$
分析: 利用公式：
$$\lim (1+u{)}^v=e^{\lim (v?\ln (1+u))}=e^{\lim v?u}$$
于是：
$$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{\frac{1}{\ln (1+x^2)}}=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{1?2{\sin }^2\frac{x}{2}}{\ln (1+x^2)}}=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{?\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$$

總結(jié)

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