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模糊数学笔记：四、模糊矩阵与模糊关系

發(fā)布時間：2025/4/16 编程问答 30 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了模糊数学笔记：四、模糊矩阵与模糊关系小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

1、模糊矩陣

定義 : 如果對于任意 $\cdots, m ; j=1,2, \cdots, n,$ 都有 $rij∈[0,1],r_{i j} \in[0,1],$ 則稱 $R=(ri,j)m×nR=(r_{i,j})_{m\times n}$ 為模糊矩陣。特別地當 $m = n$ 則稱 $R$ 為模糊方陣。

通俗地理解，即是若矩陣元素均在區(qū)間 $[0, 1]$ 上，則稱該矩陣為模糊矩陣。

特殊模糊矩陣（零矩陣、單位矩陣、全稱矩陣）：

$O=(00?000?0???00?0)m×n,I=(10?001?????00?01)m×n,U=[11?111?1???11?1]m×n\boldsymbol{O}=\left(\begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix}\right)_{m\times n}, \quad I=\left(\begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{matrix}\right)_{m \times n}, \quad U=\left[\begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{matrix}\right]_{m \times n}$

2、模糊矩陣間的關(guān)系

相等： $\Leftrightarrow a_{i j}=b_{i j}, \quad i=1,2, \cdots m ; j=1,2, \cdots, n$
包含： $\leqslant B \Leftrightarrow a_{i j} \leqslant b_{i j}, i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n$

3、模糊矩陣的交并余運算

并：相同位置元素取大

$\cup B =\left(a_{i j} \vee b_{i j}\right)_{m \times n}$

交: 相同位置元素取小

$\cap B =\left(a_{i j} \wedge b_{i j}\right)_{m \times n}$

余：1減去所有元素

$AC=(1?aij)m×nA^C =\left(1- a_{i j} \right)_{m \times n}$

例：

$A=(10.10.30.5),B=(0.700.40.9)\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0.1 \\ 0.3 & 0.5 \end{array}\right), \quad \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc} 0.7 & 0 \\ 0.4 & 0.9 \end{array}\right)$

$\cup B=\left(\begin{matrix} 1 \vee 0.7 & 0.1 \vee 0 \\ 0.3 \vee 0.4 & 0.5 \vee 0.9 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1 & 0.1 \\ 0.1 & 0.9 \end{matrix}\right) \\ A \cap B=\left(\begin{matrix} 1 \wedge 0.7 & 0.1 \wedge 0 \\ 0.3 \wedge 0.4 & 0.5 \wedge 0.9 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0.7 & 0 \\ 0.3 & 0.5 \end{matrix}\right) \\ \\ A^{C}=\left(\begin{matrix} 1-0.1 & 1-0.1 \\ 1-0.3 & 1-0.5 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0 & 0.9 \\ 0.7 & 0.5 \end{matrix}\right)$

注：模糊矩陣的運算性質(zhì)與模糊集合完全一致。

4、模糊關(guān)系

對有限論域 $U={u1,u2,?,un},V={v1,v2,?,vn},U=\left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}\right\}, V=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\},$ 若元標 $rij=R(ui,vj),r_{i j}=R\left(u_{i}, v_{j}\right),$ 則矩陣 $R=(rij)n×nR=\left(r_{i j}\right)_{n \times n}$ ,表示從 $U$ 到 $V$ 的一個模糊關(guān)系,或者說一個模糊矩陣確定一個模糊關(guān)系.

性質(zhì)：模糊關(guān)系具有對稱性和自反性。

5、模糊關(guān)系的合成

定義：設(shè) $Q, R$ 為模糊關(guān)系，所謂 $Q$ 對 $R$ 的合成,就是從 $U$ 到 $W$ 的一個模糊關(guān)系,記作 $Q°RQ\circ R$ . 其定義為：

$\circ R=\vee _{k=1}^{l}(q_{ik} \wedge r_{kj}) \\$

注：這里表示 $Q$ 的每行先與 $R$ 的每列對應對小，再對這一組取大，得到該位置的元素。其操作方式與矩陣乘法類似。

特別地，記：
$R2=R°R,Rn=Rn?1°RR^{2}=R \circ R, \quad R^{n}=R^{n-1} \circ R$

例：設(shè)模糊關(guān)系

$Q=(0.30.70.2100.9),R=(0.80.30.10.80.50.6)Q=\left(\begin{matrix} 0.3 & 0.7 & 0.2 \\ 1 & 0 & 0.9 \end{matrix}\right), \quad R=\left(\begin{matrix} 0.8 & 0.3 \\ 0.1 & 0.8 \\ 0.5 & 0.6 \end{matrix}\right)$

記：
$Q°R=(s11s12s21s22)Q{\circ} R=\left(\begin{matrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{21} & s_{22} \end{matrix}\right)$
由模糊關(guān)系合成的定義：
$s11=(0.3∧0.8)∨(0.7∧0.1)∨(0.2∧0.5)=0.3s12=(0.3∧0.3)∨(0.7∧0.8)∨(0.2∧0.6)=0.7s21=(1∧0.8)∨(0∧0.1)∨(0.9∧0.5)=0.8s22=(1∧0.3)∨(0∧0.8)∨(0.9∧0.5)=0.6\begin{matrix} s_{11}=(0.3 \wedge 0.8) \vee(0.7 \wedge 0.1) \vee(0.2 \wedge 0.5)=0.3 \\ s_{12}=(0.3 \wedge 0.3) \vee(0.7 \wedge 0.8) \vee(0.2 \wedge 0.6)=0.7 \\ s_{21}=(1 \wedge 0.8) \vee(0 \wedge 0.1) \vee(0.9 \wedge 0.5)=0.8 \\ s_{22}=(1 \wedge 0.3) \vee(0 \wedge 0.8) \vee(0.9 \wedge 0.5)=0.6 \end{matrix}$
則：
${\circ} R=\left(\begin{array}{ll} 0.3 & 0.7 \\ 0.8 & 0.6 \end{array}\right)$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的模糊数学笔记：四、模糊矩阵与模糊关系的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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