開宗明義，B樹是為磁盤或其他直接存取輔助設(shè)備而設(shè)計(jì)的一種平衡查找樹。一般設(shè)計(jì)的簡單數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)都是面向主存而設(shè)計(jì)的，主存讀取速度快但容量小；而磁盤讀取速度慢而容量大，于是針對磁盤而設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就不同于為主存而設(shè)計(jì)的。就樹結(jié)構(gòu)上來說，紅黑樹的二叉性質(zhì)和高深度適合主存，而B樹正是應(yīng)磁盤特點(diǎn)而設(shè)計(jì)的高級樹結(jié)構(gòu)，其高度比紅黑樹小很多，但廣度要大很多，其分支不只2個，分支因子越大，高度越小。

在考察算法性能時，需要考慮兩方面：磁盤存取次數(shù)和CPU運(yùn)行時間。主存存儲量小，一旦要處理的數(shù)據(jù)量比較龐大，就需要以頁在磁盤和主存之間交換，選擇頁復(fù)制到主存中操作再將修改過的頁寫回磁盤，這來回就是磁盤存取消耗的性能，因此交換頁在操作系統(tǒng)磁盤模塊是一個很重要的算法。

B樹設(shè)計(jì)上，一個結(jié)點(diǎn)的大小相當(dāng)于一個完整的磁盤頁，其子女?dāng)?shù)就由磁盤頁的大小來決定。這樣一個節(jié)點(diǎn)的讀取就交換一個頁，減少磁盤IO次數(shù)。下面定義B樹：

一棵B樹T是具有如下性質(zhì)的有根樹（根為root[T]）：

1）每個結(jié)點(diǎn)x有以下域構(gòu)成：

?? a)n[x]，當(dāng)前存儲在結(jié)點(diǎn)x中的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)；

?? b)n[x]個關(guān)鍵字本身，以非降序存放，key₁[x]=<key₂[x]=<…=<key_n[x][x]

?? c)leaf[x]，布爾值，如果x是葉子該值為true，如果x是內(nèi)結(jié)點(diǎn)則為false；

2）每個內(nèi)結(jié)點(diǎn)x還包含n[x]+1個指向其子女的指針c₁[x]，c₁[x]，…，c_n[x]+1[x]，葉結(jié)點(diǎn)沒有子女，故而c_i域沒有定義；

3）各關(guān)鍵字key_i[x]對儲存在各子樹中的關(guān)鍵字范圍加以分割，如果k_i為存儲在以c_i[x]為根的子樹中的關(guān)鍵字，那么：

k₁=<key₁[x]=< k₂=< key₂[x]=<…=< k_n[x]=<key_n[x]+1[x]

子節(jié)點(diǎn)的值是被父結(jié)點(diǎn)的值區(qū)隔開。

4）每個葉結(jié)點(diǎn)具有相同深度，即樹的高度h；

5）每一個節(jié)點(diǎn)能包含的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)有一個上界和下界，界可用一個B樹的最小度數(shù)的固定整數(shù)t>=2來表示；

??? a)每個非根的結(jié)點(diǎn)必須至少有t-1個關(guān)鍵字，每個非根的內(nèi)結(jié)點(diǎn)至少有t個子女，如果樹是非空的，則根節(jié)點(diǎn)至少包含一個關(guān)鍵字；

??? b)每個節(jié)點(diǎn)可包含至多2t-1個關(guān)鍵字，故一個內(nèi)結(jié)點(diǎn)至多可有2t個子女，如果一個結(jié)點(diǎn)是滿的，那就有2t-1個關(guān)鍵字。

如果t=2，就是每個非根結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)為2，其每個內(nèi)結(jié)點(diǎn)有2個、3個或4個子女，是一顆2-3-4樹。t其實(shí)就是限制了每個結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字?jǐn)?shù)，在t-1和2t-1范圍內(nèi)，取閉區(qū)間。

B樹設(shè)計(jì)上一般考慮一個結(jié)點(diǎn)大小和一個磁盤頁相當(dāng)，因此磁盤存取次數(shù)和B樹高度成正比。通過B樹最壞情況的高度來衡量性能。如果n>=1，對任意一顆包含n個關(guān)鍵字、高度為h、最小度數(shù)t>=2的B樹T，則：

定義了B樹和分析其性能，下面對B樹的基本操作進(jìn)行描述。

B樹的基本操作和二叉樹類似，不同的是每個結(jié)點(diǎn)不只是二叉決定，而是根據(jù)B樹的度（結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字?jǐn)?shù)）做決定。B樹的每個內(nèi)結(jié)點(diǎn)x，都需要做n[x]+1路的分支決定。

1）B樹的搜索操作

從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)搜索關(guān)鍵字k，在算法上只需依次從頂層定位關(guān)鍵字值序的空間就可以。關(guān)注下，B樹搜索操作的復(fù)雜度：搜索是從樹根一直下降的過程，需存取的磁盤頁面數(shù)為樹的高度就是：O(h)=O(log_tn)，t是節(jié)點(diǎn)的度，n是關(guān)鍵字?jǐn)?shù)，h是樹高度；對于CPU運(yùn)行時間消耗來說，每個節(jié)點(diǎn)的循環(huán)式為O(t)，總共進(jìn)行h次循環(huán)，那總的時間就是O(th)=O(tlog_tn)。

2）B樹的插入操作

B樹插入操作比較復(fù)雜，必須對滿結(jié)點(diǎn)進(jìn)行分裂操作，以維持B樹結(jié)點(diǎn)至多2t-1個關(guān)鍵字的性質(zhì)。從根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，尋找待插入關(guān)鍵字的序值位置，如果結(jié)點(diǎn)滿，則分裂，將中間值插入到父節(jié)點(diǎn)，如果父節(jié)點(diǎn)也因此滿，需要進(jìn)一步分裂，遞歸如是。文中有一個思路很好，就是在尋找關(guān)鍵字要插入的結(jié)點(diǎn)過程中，在查找沿途過程中發(fā)現(xiàn)有滿節(jié)點(diǎn)（包含葉結(jié)點(diǎn)本身）就分類，而不是等最后插入時發(fā)現(xiàn)了才分裂。看看滿節(jié)點(diǎn)分裂算法的描述：

Fun_Btree_split_child(x,i,y){//x是父結(jié)點(diǎn)，y是子節(jié)點(diǎn)，i是x的分裂點(diǎn)

??? Allocat_node(z);//分配一個z結(jié)點(diǎn)

??? Leaf[z]=leaf[y];//把y中t個最大關(guān)鍵字（包含其t+1個子女）復(fù)制給z

??? n[z]=t-1;

??? for j=1 to t-1

??????? do key_j[z]=key_j+t[y];

??? if not leaf[y] //y有子女

??????? then for j=1 to t

??????????? do c_j[z]=c_j+t[y]

??? n[y]=t-1;

//到此已經(jīng)將y節(jié)點(diǎn)，從中間分類成兩個節(jié)點(diǎn)，y和z，其中z是較大關(guān)鍵字的那部分

//下面就是將y的中間關(guān)鍵字提升到父結(jié)點(diǎn)x中，左右分別指向y和z

for j=n[x]+1downto i+1

??????? do c_j+1[x]=c_j[x];//x的子女向右移動一個位置

??? c_i+1[x]=z;

??? for j=n[x] downto i

??????? do key_j+1[x]=key_j[x];//x的關(guān)鍵字向右移動一個位置

??? key_i[x]=key_t[y]

??? n[x]=n[x+1]

??? Disk-Write(y);

??? Disk-Write(z);

Disk-Write(x);//回寫磁盤，一個結(jié)點(diǎn)一頁

}

有了分裂函數(shù)，插入算法就不描述了，在遇到滿結(jié)點(diǎn)時調(diào)用分裂函數(shù)即可。對高度為h的B樹，插入的磁盤存取次數(shù)是O(h)，cpu運(yùn)行時間是O(th)=O(tlog_tn)。

3）B數(shù)的刪除操作

B樹刪除操作和插入一樣麻煩，需要確保刪除后結(jié)點(diǎn)數(shù)不小于t-1個關(guān)鍵字的性質(zhì)。刪除的算法思路就是合并節(jié)點(diǎn)，復(fù)雜度和插入一樣。這里不具體描述。

B樹的應(yīng)用是很廣泛的，對于算法復(fù)雜度來說，關(guān)注CPU時間是不夠的，因?yàn)槎鄶?shù)情況，需要整體考慮設(shè)備性能，而磁盤IO能力是一個很關(guān)鍵但常常是制約性能的指標(biāo)。 《新程序員》：云原生和全面數(shù)字化實(shí)踐50位技術(shù)專家共同創(chuàng)作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法导论之B树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。