斐波那契堆，和二項堆類似，也是由一組最小堆有序的樹構成。注意區別，不是二項樹，是有根而無序的樹。導論中，斐波那契堆只是具有理論上的意義，是以平攤分析為指導思想來設計的數據結構，主要是漸進時間界比二項堆有改善。斐波那契堆除去刪除元素操作外，其他操作只有O(1)的平攤運行時間，而二項堆需要O(lgn)的最壞情況運行時間。但若要斐波那契堆能轉化為實際應用，除要保證有相同平攤時間界限外，還需更簡單的數據結構。導論中提到斐波那契堆應用于最小生成樹和尋找單源最短路徑，可重點理解。

總結來說，斐波那契堆，相對二項堆來說，在多數操作上改善漸進時間，但僅適用于刪除操作動作較少的場景，且其結構復雜實用價值不大。下面看看斐波那契堆的結構及各操作的平攤分析勢能方法。

斐波那契堆的結點，包含指向父結點的指針p[x]、指向任一子女的指針child[x]、左兄弟指針left[x]、右兄弟指針right[x]、結點子女個數degree[x]、標記是否失去子女mark[x]。值得一提的是，通過左右兄弟指針，子女結點被鏈接成一個環形雙鏈表。

對給定的斐波那契堆H，通過指向包含最小關鍵字的樹根的指向min[H]來訪問，這個結點就是斐波那契堆中的最小結點。所有的樹根通過left和right指針構成一個環形雙鏈表，為堆的根表。指針min[H]指向根表中具有最小關鍵字的結點。H中所包含的結點個數為n[H]。斐波那契堆用勢能方法分析其操作的平攤性能，對給定的斐波那契堆H，t(H)表示H根表中樹的棵樹，m(H)表示H中有標記結點的個數，勢定義如下：

斐波那契堆的操作要分兩類，一類是建堆、插入結點、合并堆和抽取堆最小值；另一類是關鍵字值減少和結點刪除。

1）第一類操作斐波那契堆是一組無序的二項樹，符合二項樹的性質，性質四有所不同，描述為：無序二項樹U_k，根的度數是k，大于任何其他結點的度數；根的子女按照某種順序分別為U₀,U₁,…,U_k-1的根。n個結點的斐波那契堆由一組無序的二項樹構成。基本操作的平攤性能都是O(1)，抽取最小值是O(lgn)。

2）第二類操作斐波那契堆是一組無序的樹，即不保持二項樹性質，操作的平攤性能是O(lgn)。

建堆、插入結點（直接作為一顆二項樹放在斐波那契堆的根表，然后將最小關鍵字指針重新調整）、尋找最小結點（第一個結點就是）、合并兩個斐波那契堆（簡單將兩個堆的根表合并即可），都是O(1)代價。重點要說明抽取最小結點的算法，和第二類中關鍵字值減小和刪除結點操作，都是O(lgn)代價。

1）抽取最小結點

抽取最小結點的處理邏輯很直接：將最小結點的子女都成為一個根，然后刪除最小結點，接著將度數相同的根鏈接起來，調整到每個度數只有一個根為止。具體算法如下：

Fun_Fib_Heap_Extract_Min(H){

??? z=min[H];

??? if z ≠ null

??????? then for each child x of z

??????????? do add x to root list of H

??????????? p[x]=null

??????? remove z from the root list of H?? //將最小結點的子女調整為根并刪除最小結點

??? if z=right[z] then min[H]=null

??? else min[H] = right[z]? //將右兄弟作為最小結點，就是堆的入口結點

???????? consolidate(H) //調整堆

??? n[H]=n[H]-1 //堆結點數減1

??? returun z

}

重點是堆調整，使根結點的度數都是唯一的，且保持無序二項樹性質。

Fun_ consolidate(H){

??? for i=0 to D(n[H]) //結點度數上界

??????? do A[i]=null

??? for each node w in the root list of H

??????? do x=w

?????????? d=degree[x]

?????????? while A[d] ≠ null

?????????????? do y=A[d]

?????????????? if key[x]<key[y] thenexchange(x,y)

?????????????? remove y form the root list of H

?????????????? make y a child of x,incrementingdegree[x]

?????????????? mark[y]=false

?????????????? A[d]=null

?????????????? d=d+1

?????????? A[d]=x //對根表中的每一個根w進行處理，使每個度數下至多只有一個根（發現有相同度數，小值作為根，大值下沉為子女），且數組A指向每一個留下的根。用A數組作為輔助數組，將根表中每個結點的度數映射過去。要對y進行標記，是勢函數計算依據。這種處理思路就使用利用結點度數0-n的最大值作為數組來存儲根表中結點的度數，是一種很有用的常量映射辦法。

??? min[H]=null

??? for i=0 to D(n[H])

??????? do if A[i] ≠ null

??????????? then add A[i] to the root list of H

??????????????? if min[H]=null orkey[A[i]]<key[min[H]]

??????????????? ????then min[H]=A[i]

}

2）關鍵字值減小

斐波那契堆結點關鍵字值減小，主要是保持最小堆有序的性質，具體算法如下：

Fun_Fib_Heap_DecreaseKey(H,x,k){//x結點關鍵值減少為k

??? if k>key[x] then return;

??? key[x]=k

??? y=p[x]

??? if y ≠ null and key[x] <key[y]

??????? then CUT(H,x,y)

???????????? Cascading-cut(H,y)

?? If key[x] <key[min[H]] then min[H]=x

}

如果x結點減小后的關鍵值小于父結點y，則要調整堆，具體算法如下：

Fun_CUT(H,x,y){

??? remove x from the child list ofy,decrementing degree[y]

??? add x to the root list of H

??? p[x] =null

??? mark[x]=false

}

將x鏈接到根表。

Fun_ Cascading-cut(H,y){

??? z=p[y]

??? if z ≠null

??????? then if mark[y]=false //失去一個子結點

??????????? then mark[y]=true

??????????? else CUT(H,y,z)

???????????????? Cascading-cut(H,z)

}

級聯處理，保持最小堆性質。刪除結點就可以通過減少結點關鍵值和抽取最小結點來完成，先把要刪除的結點關鍵值減少為負無窮大，然后抽取最小值結點來作為堆入口。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法导论之斐波那契堆的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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