計算幾何學是計算機科學的一個分支，專門研究集合問題的解決的算法。計算幾何學的問題一般輸入關于一組集合對象的描述，如一組點、一組線段；輸出是對問題的回答，如直線是否相交。三維空間和高維空間很難視覺化，這里計算幾何學主要基于二維平面，輸入對象用一組點<p₁,p₂,p₃,…>來表示，其中每個p_i=(x_i,y_i),x_i,y_i∈R。

1）線段的性質

兩個不同的點p1=(x1,y1)和p2=(x2,y2)的凸組合是滿足下列條件的任意點p3=(x3,y3)：對某個a(0≤a≤1)，有x3=ax1+(1-a)x2,y3=ay1+(1-a)y2，即p3=ap1+(1-a)p2。p3是位于穿過p1和p2的直線上、并處于p1和p2之間（包括p1和p2兩點）的任意點，在給定兩個不同的點p1和p2的情況下，線段p1p2是p1和p2的凸組合（convex combination）的集合。p1和p2是線段p1p2的端點，并需要考慮p1和p2之間的順序。

在回答計算集合線段性質上，一般選擇加法、減法、乘法和比較運算，避免使用除法和三角函數(shù)，因為這二者計算代價高昂且容易產生舍入誤差降低精度。

叉積：

叉積是關于線段算法的中心，定義為p1Xp2，是由點(0,0)、p1、p2、和p1+p2=(x1+x2,y1+y2)所形成的平行四邊形的面積，也等價于一個矩陣的行列式：

如果p1Xp2為正數(shù)，則相對于原點（0,0）來說，p1在p2的順時針方向上；如果為負數(shù)，則p1在p2的逆時針方向上；如果為0，即在邊界，則兩個向量是共線的，指向同一個方向或相反的方向。

要確定公共端點p0，有向線段p0p1是否在有向線段p0p2的順時針方向上，可計算叉積：

(p1-p0)X(p2-p0)=(x1-x0)(y2-y0)-(x2-x0)(y1-y0)

如果該積為正，則向線段p0p1在有向線段p0p2的順時針方向上；如果為負，則向線段p0p1在有向線段p0p2的逆時針方向上。

連續(xù)線段的轉向判斷：

問題是在點p1處，兩條連續(xù)的線段p0p1和p1p2是向左轉還是向右轉，就是確定p0p1p1的角的轉向。應用叉積，檢查有向線段p0p2是在有向線段p0p1的順時針方向還是逆時針方向即可判斷。計算叉積(p2-p0)X(p1-p0)，為負，則p0p2在p0p1的逆時針方向，在p1點會左轉；如果為正，則p0p2在p0p1的順時針方向，在p1點會右轉。

兩個線段的相交判斷：

要確定兩個線段是否相交，通過每個線段是否跨越了包含另一條線段的直線。給定一個線段p1p2，如果點p1位于某一直線的一邊，而點p2位于該直線的另一邊，則稱線段p1p2跨越了該直線。如果p1和p2就落在該直線上的話，就是出現(xiàn)邊界情況。

兩個線段相交，當且僅當下面兩個條件中的一個成立，或同時成立：

第一：每個線段都跨越包含了另一個線段的直線；

第二：一個線段的某一端點位于另一線段上（邊界情況）。

算法偽碼上主要是兩個過程：第一個過程是計算每個端點相對于另一條線的方位，就是計算三個點的轉向判斷，得出相對方位d；第二個過程對d非零和零進行判斷。

2）確定任意一對線段是否相交

要確定任意一對線段是否相交，采用掃除技術，算法運行時間是O(nlgn)，其中n是已知的線段數(shù)目。掃除技術只確定是否存在相交的線段，并不輸出所有的相交點。掃除算法的過程，是假設存在一條垂直掃除線，自左向右依次穿過已知的幾何物體，如果從x軸方向來看，就是一組垂直的線沿著時間橫掃。掃除技術有兩點假設：第一假定沒有一條輸入線是垂直的；第二假設沒有三條輸入線相交于同一點。掃除過程中，根據(jù)掃除線和線段相交的交點的y坐標值進行排序。對一個一條線段來說，掃除線從線段的左端點開始到右端點離開，過程中y的值隨著x的變化而變化，從而有不同的排序。這個很好理解，兩條線段的y值在前后掃除線的不同時間點具有不同的排序（大小出現(xiàn)顛倒），則說明有相交。

掃除算法維護兩組數(shù)據(jù)：第一掃除線狀態(tài)，記錄了與掃除線相交的線段之間的關系；第二事件點調度，記錄從左到右的x坐標的序列。

掃除線狀態(tài)是一個全序T，用一顆紅黑樹實現(xiàn)，可在T上執(zhí)行四個操作：

Insert(T,s)，將線段s插入到T中。

Delete(T,s)，將線段s從T 中刪除。

Above(T,s)，返回T中緊靠線段s上面的線段。

Below(T,s)，返回T中緊靠線段s下面的線段。

算法的偽碼描述就不具體展開，算法輸入n個線段組成的集合S，如果S中有任意一對線段相交，則輸出TRUE布爾值。算法整個過程通俗的理解就是：一條垂直的線沿著x軸自左向右掃過去，S集合中的線段在掃除線的每個事件點（x軸上的點）對線段y值進行排序。導論中圖示表示很清晰，也做了證明。

3）尋找凸包

點集Q的凸包（convex hull）是一個最小的凸多邊形P，滿足Q中的每個點或者在P的邊界上，或者在P的內部，用CH(Q)表示凸包。計算包含n個點的點集的凸包，有兩種都是按照逆時針方向順序輸出凸包的各個頂點，一個是Graham掃描法，運行時間O(nlgn)；還有一個是Jarvis步進法，運行時間是O(nh)。直觀上說，找出凸包的頂點就可以，兩種算法都運用了旋轉掃除技術，根據(jù)每個頂點對一個參照頂點的極角大小，依次處理。思路上就是選取參照點，計算凸包中和參照點的關系。

凸包問題和計算幾何中的最遠點對問題也相近，已知平面上的n個點的集合，找出他們中距離最遠的兩個點。還有其他算法，如增量算法、分治法、剪枝-搜索法。

Graham掃描法：

Graham掃描法通過設置一個候選點的堆棧S來解決凸包問題。輸入集合Q中的每個點都被壓入棧一次，非凸包CH(Q)中頂點的點被彈出堆棧，算法終止時，堆棧S中僅包含CH(Q)中的頂點，其順序為各點在邊界上出現(xiàn)的逆時針方向排列的順序。

具體偽碼和案例及其正確定證明不描述，主要說下算法過程：首先選擇參照點p0，一般選擇頂點（最下邊或最右邊這種）；其次將所有點按照和p0極角大小遞增順序壓入堆棧；接著依次彈出右轉的非凸包頂點，最后剩下就是凸包的頂點。

Jarvis步進法：

Jarvis步進法采用打包（package wrapping）技術來計算一個點集Q的凸包，算法運行時間為O(nh)，其中h是CH(Q)的頂點數(shù)。

該方法的思路可以這樣理解：找出Q集合中的最低點p0（y值最小），這是凸包的一個頂點，以該點為基礎放射出一條無限長的線段，從右邊開始沿上掃描，直到碰到一個點（遇到的點都是頂點），直到360度旋轉回p0點。

這個過程中最重要的是，掃描過程中界定遇到的點是頂點，理論上，找出具有最小極角的點，如果極角相同再找出距離最遠的點（x軸的距離）。

4）尋找最近點對

在n≥2個點的集合Q中尋2找最近點對的問題。最近通常理解為歐幾里得距離，點p1=(x1,y1)和p2=(x2,y2)之間的距離為：

如果集合中兩個點重合，那距離就是0。尋找最近點對問題應用在空中或海洋交通控制系統(tǒng)中，用于發(fā)現(xiàn)兩個距離最近的交通工具，以便檢測出可能發(fā)生的相撞事故。

一般簡單的做法，就是計算出所有點的兩兩距離，然后得出最近點對，這個算法是點數(shù)n的平方時間性能。如果應用分治算法，采用遞歸T(n)=2T(n/2)+O(n)，算法運行時間為O(nlgn)。下面描述分治算法的思路。

分治算法的每一次遞歸調用輸入為子集P?Q和數(shù)組X和Y，每個數(shù)組均包含輸入子集P的所有點。數(shù)組X中點，按x坐標單調遞增排序；同樣的，數(shù)組Y中的點，按y坐標單調遞增排序。遞歸退出在檢查|P|≤3，如果小于等于3個點，那直接就兩兩比較；如果大于3，則接著分治。具體步驟：

第一分解：找出一條垂直線L，將點集P劃分為左右兩個集合P_L和P_R，需要滿足二者的點數(shù)是P的二分之一。自然，數(shù)組X就也劃分兩個數(shù)組X_L和X_R，數(shù)組Y也 劃分為兩個數(shù)組Y_L和Y_R。

第二解決：P劃分成P_L和P_R后，進行兩次遞歸調用，一次找出P_L的最近點對，返回最近點對距離l，一次找出P_R的最近點對，返回最近點對距離r；取min(l,r)返回。

第三合并：最近點對，要么是某次遞歸調用返回的取min(l,r)距離，要么就是?? P_L中的一個點和P_R中的一個點組成點對，算法中需要確定跨數(shù)組的點對距離和min(l,r)距離關系；如果小于，則點對中的兩個點一定在距離垂直線L的min(l,r)單位內；這樣就建立一個以垂直線L為中心，寬度為2 min(l,r)的垂直帶形區(qū)域內；找出這樣點對，需要對數(shù)組Y內不在該區(qū)域的點去掉，剩下依舊按照y坐標順序排序；對數(shù)組Y中在區(qū)域內的所有點，找出距離其在min(l,r)單位距離內的點，并記錄下其點對距離；如果存在比min(l,r)更小的，則返回該點及其距離。

算法的正確性就不多敘述，其實計算幾何需要抽象去理解，好在二維的還是比較好理解。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法导论之计算几何学的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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