知識點：概率基礎

1）隨機現象

根據客觀現象的特征，將其分類兩類：一類是確定性現象，在一定條件下必然出現（或不出現）某種結果的現象；另一類是隨機現象，在給定的條件下不能確切預言其結果的現象，可在相同條件下重復進行觀察或試驗，而每次觀察或試驗的結果不止一個，且事先無法預知確切的結果。在不確定的現象中，還有一種無法重復觀察或試驗的情況，如無法確定2050年會不會爆發世界大戰，這種一次性不可重復的現象稱為不確定現象。

概率研究的對象是隨機現象。雖然隨機現象每次的結果具有偶然性，但在大量觀察或多次重復試驗后其結果常常會呈現出某種規律性。

2）隨機事件

對隨機現象進行觀測也稱作隨機試驗。隨機試驗的每一種結果或隨機現象的每一種表現都稱作隨機事件，一般用大寫字母A、B、C，….表示。

基本事件：不能再被分解為兩個或兩個以上的事件。基本事件是隨機試驗的最基本結果，每次試驗必出現一個基本事件，任何兩個基本事件都不會同時出現。

復合事件：由兩個或兩個以上基本事件所組成的事件。

一項隨機試驗的所有基本事件的集合，稱作該隨機試驗的基本事件空間。必然事件是每次試驗都一定出現的事件，記作Ω。任何一次試驗都不可能出現的事件稱為不可能事件，記作Φ。

事件的關系有包含和相等，事件的運算有和（并）、差、交（積）、逆。

包含：關系式A?B表示若A出現則B也出現，反之則未必；

相等：關系A=B表示事件A和B同時出現或都不出現；

和（并）：運算式A+B或A∪B表示A和B中至少出現一個；

差：運算式A-B或A\B表示事件A出現但B不出現；

交（積）：運算式A∩B表示事件A和B同時出現；

逆事件： 表示A不出現，是A的對立事件；

不相容：若AB=Φ，則A與B不可能同時出現，稱A和B不相容。

3）概率概念和性質

對于一個隨機事件來說，它在一次試驗中可能發生，也可能不發生。既然有可能性，就有可能性大小的問題。事件A在隨機試驗中出現可能性大小的數值度量，稱做概率。事件A的概率以P(A)表示。

在相同條件下，重復進行同一隨機試驗，A是這個試驗的一個結果（事件）。設試驗次數為n，在n次重復試驗中A出現的次數為n_A，則事件A的頻率為：n_A/n=P_n(A)。當試驗次數n較小時，頻率的數值有較大的波動，但n充分大時，頻率數值的波動明顯減弱，并且隨著n的增長，頻率會趨于穩定在某個常數p附近。

隨機試驗的頻率具有隨試驗次數增加而趨向穩定的性質，而頻率的穩定值可以用來反映事件發生的可能性大小。因此，可以說頻率的穩定值p是事件A發生的概率， 即P(A)=p。要注意區別頻率和概率，雖然二者都是事件出現可能性大小的度量，但頻率是試驗值，依賴于試驗的次數，即使試驗次數相同，頻率也可能取值不同，頻率具有隨機性；而概率則是獨立于試驗而客觀存在的理論值，其大小取決于事件本身固有的規律性。當然在實際應用中，常常通過大量重復試驗得到事件發生的頻率，且以它作為概率的近似值或估計值。頻率是試驗值，隨機的；概率是理論值，規律的。

設事件A的概率為P(A)，則具有如下性質：

非負性，即0≤P(A)≤1；

規范性，對于必然事件Ω，有P(Ω)=1；

對于隨機事件A_i（i=1,2,…），只要它們兩兩互不相容，則有：?

4）概率的估計和計算

概率的直接計算有兩種場合：古典型概率和幾何型概率，古典型概率用事件個數比率計算，而幾何型概率則是用幾何度量比率。

也可以用頻率直接估計概率。

也可以使主觀概率，如專家估計。

概率的計算公式：

概率的加法法則：任意兩個事件P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，不相容事件P(A+B) =P(A)+P(B)。

條件概率：P(A|B)=P(AB)/P(B)，在事件B發生的條件下，事件A發生的條件概率。

概率的乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)。

事件的獨立性：對于兩個事件A和B，假若事件B的發生對事件A發生的概率產生影響，即P(A|B)≠P(A)，則稱事件A與B之間統計相依；假若事件B的發生并不影響事件A發生的概率，稱事件A與B之間統計獨立，即：P(AB)=P(B)P(A)。

聯合概率：若事件兩兩獨立，則P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，可推廣到n個事件。

5）隨機變量及其分布

隨機變量就是其取值帶有隨機性的變量。在給定的條件下，這種變量取何值事先不能確定，只能由隨機試驗的結果來定，并且隨試驗的結果而變。隨機變量分類離散型和連續型。

隨機變量的概率分布：隨機變量的一切可能值的集合（值域），及其相應的概率稱做隨機變量的概率分布。隨機變量的統計性質由它的概率分布來表征，分為離散型隨機變量分布和連續性隨機變量分布兩類。

離散型隨機變量分布定義：離散型隨機變量X的每一個可能的取值x_i和隨機變量取該值的概率p(x_i)之間所確立的對應關系。p(x_i)（i=1,2,…）稱作隨機變量X的概率分布或概率函數，滿足p(x_i)≥0，且各值和為1。

連續性隨機變量分布定義：連續型隨機變量X在某一數值區間[a,b]內取值的概率等于豎立在該區間上的，以密度曲線為上底的曲邊梯形的面積，寫作：

總結

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