馬攔過河卒(NOIP2002)

(2010-05-14 15:57:22)

標(biāo)簽： 遞歸 雜談

分類： 遞歸與回溯

Description :

如圖，A點(diǎn)有一個(gè)過河卒，需要走到目標(biāo)B點(diǎn)。卒行走的規(guī)則：可以向下、或者向右。

同時(shí)在棋盤上的任一點(diǎn)有一個(gè)對(duì)方的馬（如上圖的C點(diǎn)），該馬所在的點(diǎn)和所有跳躍一步可達(dá)的點(diǎn)稱為方馬的控制點(diǎn)。例如上圖C點(diǎn)上的馬可以控制9個(gè)點(diǎn)（圖中的P1，P2...P8和C）。卒不能通過對(duì)方的控制點(diǎn)。
棋盤用坐標(biāo)表示，A點(diǎn)（0，0）、B點(diǎn)（n, m）(n,m為不超過20的整數(shù)，并由鍵盤輸入)，同樣馬的位置坐標(biāo)是需要給出的（約定：C≠A，同時(shí)C≠B）。現(xiàn)在要求你計(jì)算出卒從A點(diǎn)能夠到達(dá)B點(diǎn)的路 徑的條數(shù)。

Input

B點(diǎn)的坐標(biāo)（n,m）以及對(duì)方馬的坐標(biāo)（X,Y） {不用判錯(cuò)}

Output

一個(gè)整數(shù)（路徑的條數(shù)）。

Sample Input
6 6 3 2

?

Sample Output
17

?方法一：用回溯的方法：（分析略，見跳馬）

Code
?1//馬攔過河卒(NOIP2002)
?2program?guoheju;
?3const
?4????dx:array[1..8]?of?integer=(-2,-1,1,2,2,1,-1,-2);
?5????dy:array[1..8]?of?integer=(1,2,2,1,-1,-2,-2,-1);?//馬控制的8個(gè)
?6
?7方向
?8var
?9????n,m,x,y,i,j,ans:longint;
10????g:array[0..20,0..20]?of?0..1;?//描述棋盤上的點(diǎn)是否受馬控制
11
12procedure?init;
13begin
14????readln(n,m,x,y);
15????g[x,y]:=1;
16????ans:=0;
17????for?i:=1?to?8?do
18????????if(x+dx[i]>=0)and(x+dx[i]<=n)
19????????and(y+dy[i]>=0)and(y+dy[i]<=m)?then
20????????????g[x+dx[i],y+dy[i]]:=1;???//計(jì)算存儲(chǔ)馬的控制點(diǎn)
21end;
22
23procedure?try(x,y:integer);?//x,y為卒當(dāng)前所在的位置
24begin
25????if(x=n)and(y=m)?then?ans:=ans+1??//到達(dá)目標(biāo)
26????else
27????begin
28????????if(y<m)and(g[x,y+1]=0)?then?try(x,y+1);?//向右走
29????????if(x<n)and(g[x+1,y]=0)?then?try(x+1,y);?//向下走
30????end;
31end;
32
33begin
34????init;
35????try(0,0);
36????writeln(ans);
37end.

?

方法二：用遞推的方法：
??????當(dāng)m,n比較小的時(shí)候，運(yùn)用回溯可以求出解，但當(dāng)m、n比較大的時(shí)候，就會(huì)超時(shí)。
??????仔細(xì)觀察，要到達(dá)棋盤上的任意一點(diǎn)，只能從左邊和上邊兩個(gè)方向過來。因此，要到達(dá)某一點(diǎn)的路徑數(shù)，等于和它相鄰的左、上兩個(gè)點(diǎn)的路徑數(shù)和：F[i,j] = F[i-1,j] + F[i,j-1]。所以我們可以使用逐列（或逐行）遞推的方法來求出從起始頂點(diǎn)到重點(diǎn)的路徑數(shù)目，即使有障礙（我們將馬的控制點(diǎn)稱為障礙），這一方法也完全適用，只要將到達(dá)該點(diǎn)的路徑數(shù)目置為0即可，用F[i,j]表示到達(dá)點(diǎn)(i,j)的路徑數(shù)目，g[i,j]表示點(diǎn)(i, j)有無障礙，遞推方程如下：
　　　　　　　　F[0,0] = 1??????????????????????????????//起點(diǎn)
　　　　　　　　F[i,0] = F[i-1,0] 　　　　　　　{i > 0, g[x,y] = 0}//左邊界
　　　　　　　　F[0,j] = F[0,j-1] 　　　　　　　{j > 0, g[x,y] = 0}//上邊界
??????????????????????F[i,j] = 0 　　　　　　　　　　 { g[x,y] = 1 }? //障礙點(diǎn)
? 　　　　　　　F[i,j] = F[i-1,j] + F[i,j-1]　 {i > 0, j > 0, g[x, y] = 0}//遞推式

與動(dòng)態(tài)規(guī)劃相比較，本題不是求最優(yōu)值，在階段中不做決策。

為了輸出路徑數(shù)量夠大，采用數(shù)據(jù)類型為comp

Code
?1//馬攔過河卒(NOIP2002)遞推
?2program?guoheju02;
?3const
?4????dx:array[1..8]?of?integer=(-2,-1,1,2,2,1,-1,-2);
?5????dy:array[1..8]?of?integer=(1,2,2,1,-1,-2,-2,-1);
?6var
?7????n,m,x,y,i,j:integer;
?8????g:array[0..20,0..20]?of?integer;
?9????f:array[0..20,0..20]?of?comp;??//數(shù)據(jù)類型避免使用高精度
10
11procedure?init;
12begin
13????readln(n,m,x,y);
14????fillchar(g,sizeof(g),0);
15????g[x,y]:=1;
16????for?i:=1?to?8?do
17????????if(x+dx[i]>=0)and(x+dx[i]<=n)
18????????and(y+dy[i]>=0)and(y+dy[i]<=m)?then
19????????????g[x+dx[i],y+dy[i]]:=1;
20end;
21
22procedure?main;
23begin
24????f[0,0]:=1;????//起點(diǎn)
25????for?i:=1?to?n?do
26????????if?g[i,0]=0?then?f[i,0]:=f[i-1,0];//左邊界
27????for?j:=1?to?m?do
28????????if?g[0,j]=0?then?f[0,j]:=f[0,j-1];//上邊界
29????for?i:=1?to?n?do
30????????for?j:=1?to?m?do
31????????????if?g[i,j]=0?then
32????????????????f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];
33end;
34
35begin
36????init;
37????main;
38????writeln(f[n,m]:0:0);//注意輸出格式
39end.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的马拦过河卒(NOIP2002)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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