在一個仿射標架中，設(shè)平面$\pi$的方程為$ax+by+cz=d$.對空間的每一點
$p(x,y,z)$,定義$f(p)=ax+by+cz-d$.證明：對于空間中任意兩點$p_1,p_2$,它
們位于平面的兩側(cè)，當且僅當$f(p_1)f(p_2)<0$.

證明：當$c\neq 0$時，我們定義平面的上方:平面的上方集合$A$,
\begin{equation}
? A=\{(x,y,z)|ax+by+c(z-k)=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
當$c\neq 0$時，我們定義平面的下方：平面上的集合$B$,
\begin{equation}
? B=\{(x,y,z)|ax+by+c(z+k)=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
顯然，$c\neq 0$時，$A\bigcap B=\emptyset$.

當$a\neq 0$時，我們定義平面的前方：平面的前方集合$C$,
\begin{equation}
? C=\{(x,y,z)|a(x-k)+by+cz=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
當$a\neq 0$時，我們定義平面的后方：平面的后方是一個集合$D$,
\begin{equation}
? D=\{(x,y,z)|a(x+k)+by+cz=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
顯然$C\bigcap D=\emptyset$.

當$b\neq 0$時，我們定義平面的左方是一個集合$E$,
\begin{equation}
? E=\{(x,y,z)|ax+b(y+k)+cz=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}
當$b\neq 0$時，我們定義平面的右方是一個集合$F$,
\begin{equation}
? F=\{(x,y,z)|ax+b(y-k)+cz=d,k\in\bf{R^{+}}\}
\end{equation}

顯然$E\bigcap F=\emptyset$.我們知道，$a,b,c$不可能同時為0，否則平面將
不再是平面了.因此$p_1,p_2$位于平面的兩側(cè)，必定有如下三種情形之一：

1.一左一右
2.一上一下
3.一前一后

無論是哪種情形，我們都易得$f(p_1)f(p_2)<0$

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/08/12/3828311.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《几何与代数导引》习题1.38的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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