本博客僅用來(lái)記錄重要概念。

線性代數(shù)學(xué)習(xí)請(qǐng)移步https://www.bilibili.com/video/av6731067

不得不說(shuō)，這位up主講的是真心好，尤其是點(diǎn)積叉積那一部分，直接刷新世界觀QWQ。

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基

空間內(nèi)的一組基指的是：張成該空間的一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量的集合

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張成

所有可以表示為給定向量線性組合的向量的集合被稱為給定向量張成的空間

張成在這里應(yīng)該是動(dòng)詞。

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在三維空間中，兩個(gè)向量張成出的空間應(yīng)該是某個(gè)過(guò)原點(diǎn)的平面

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線性相關(guān)

一組向量中至少有一個(gè)是多余的，沒(méi)有對(duì)張成空間做出任何貢獻(xiàn)

你有多個(gè)向量， 并且可以移除其中的一個(gè)而不減小張成的空間

這種情況發(fā)生時(shí)，我們稱他們是“線性相關(guān)”的

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如果所有的向量都給張成的空間增加了新的維度，他們就被稱為“線性無(wú)關(guān)”

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矩陣

這介紹怎么這么鬼畜。。

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對(duì)空間的一種特定變換

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線性變換

接收一個(gè)向量，并輸出一個(gè)向量的變換

線性的直觀含義：

1.直線在變換后仍然為直線，不能有所彎曲

2.原點(diǎn)必須保持固定（如果原點(diǎn)不固定，它可能為“仿射變換”）

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注意：線性變換“保持網(wǎng)格線平行且等距分布”—》如果變換前的向量是$i$和$j$的線性組合，那么變換后也是$i$和$j$的線性組合

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矩陣乘法

復(fù)合矩陣

乘積需要從右往左計(jì)算

我對(duì)矩陣乘法的理解：

首先把$M_1$的$[e,g]$看成一個(gè)向量，$[f,h]$看成一個(gè)向量

左乘$M_2$實(shí)際是兩個(gè)向量分別與$M_2$相乘

$M_2$可以看做將基底進(jìn)行變換的矩陣

根據(jù)線性變換的性質(zhì)，

$[e,g]$所代表的向量為$ei + gj$，此時(shí)$i$變?yōu)?(a,c)$，$j$變?yōu)?(b, d)$

然后帶入相乘就得到了最終答案

矩陣乘法的性質(zhì)

不滿足交換律

對(duì)于變換$A,B$，先應(yīng)用$A$再應(yīng)用$b$

和線應(yīng)用$B$，再應(yīng)用$A$，得到的結(jié)果是不同的

滿足結(jié)合律

$(AB)C$相當(dāng)于先應(yīng)用$C$變換，再應(yīng)用$B$、$A$變換

$A(BC)$相當(dāng)于先應(yīng)用$C$、$B$變換，再應(yīng)用$A$變換，

他們的運(yùn)算順序是相同的

三維空間內(nèi)的線性變換

本質(zhì)與二維是相同的

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行列式

二維空間

線性變換改變面積的比例被稱為這個(gè)變換的行列式

當(dāng)空間定向改變的情況發(fā)生時(shí)行列式為負(fù)

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三維空間

三維空間下行列式的值為平行六面體的體積

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判斷正負(fù)的方法：

右手定則：讓食指指向$i$，中指指向$j$，拇指指向$k$，如果變換之后仍然能這么做，則為正；若只能用食指這么做，則為負(fù)

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行列式的計(jì)算

二維

證明：

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三維：

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性質(zhì)

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逆矩陣

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矩陣的秩

秩：變換后空間的維數(shù)/列空間的維數(shù)

滿秩：秩與列數(shù)相同

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列空間

直線/平面/三維空間等，所有可能的變換結(jié)果的集合，被稱為矩陣的“列空間”

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零空間

零空間：變換后落在原點(diǎn)的向量的集合

點(diǎn)積

定義：

代數(shù)：對(duì)于兩個(gè)維度相同的矩陣，其點(diǎn)積為將相應(yīng)坐標(biāo)配對(duì)，求出每一對(duì)坐標(biāo)的乘積再相加

幾何：兩個(gè)向量的點(diǎn)積為一個(gè)向量在另一個(gè)向量上正交投影的長(zhǎng)度乘以另一個(gè)向量的長(zhǎng)度(好繞。。)

若兩向量反向，則乘積為負(fù)

兩者的關(guān)系：

這一部分聽(tīng)傻了，感覺(jué)都是神仙推導(dǎo)。太強(qiáng)了orz

叉積

定義

視頻中并沒(méi)有明確的給出叉積的定義

大概就是算出兩個(gè)向量的行列式來(lái)構(gòu)成第三個(gè)向量

正負(fù)

對(duì)于$i \times j$，若$i$在$j$右側(cè)，則叉積為正，否則叉積為負(fù)

計(jì)算

基變換

感覺(jué)前面講過(guò)。。

特征向量與特征值

定義

特征向量

在基向量變換后張成出的空間與基向量不變時(shí)張成出的空間相同的向量？

特征值

特征向量在變換后被縮放/拉伸的比例

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数学习笔记(几何版)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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