讀完本文，你可以去力扣拿下如下題目：

382.鏈表隨機節(jié)點

398.隨機數(shù)索引

-----------我最近在 LeetCode 上做到兩道非常有意思的題目，382 和 398 題，關(guān)于水塘抽樣算法（Reservoir Sampling），本質(zhì)上是一種隨機概率算法，解法應(yīng)該說會者不難，難者不會。

我第一次見到這個算法問題是谷歌的一道算法題：給你一個未知長度的鏈表，請你設(shè)計一個算法，只能遍歷一次，隨機地返回鏈表中的一個節(jié)點。

這里說的隨機是均勻隨機（uniform random），也就是說，如果有 n 個元素，每個元素被選中的概率都是 1/n，不可以有統(tǒng)計意義上的偏差。

一般的想法就是，我先遍歷一遍鏈表，得到鏈表的總長度 n，再生成一個 [1,n] 之間的隨機數(shù)為索引，然后找到索引對應(yīng)的節(jié)點，不就是一個隨機的節(jié)點了嗎？

但題目說了，只能遍歷一次，意味著這種思路不可行。題目還可以再泛化，給一個未知長度的序列，如何在其中隨機地選擇 k 個元素？想要解決這個問題，就需要著名的水塘抽樣算法了。

PS：我認真寫了 100 多篇原創(chuàng)，手把手刷 200 道力扣題目，全部發(fā)布在labuladong的算法小抄，持續(xù)更新。建議收藏，按照我的文章順序刷題，掌握各種算法套路后投再入題海就如魚得水了。

算法實現(xiàn)

先解決只抽取一個元素的問題，這個問題的難點在于，隨機選擇是「動態(tài)」的，比如說你現(xiàn)在你有 5 個元素，你已經(jīng)隨機選取了其中的某個元素 a 作為結(jié)果，但是現(xiàn)在再給你一個新元素 b，你應(yīng)該留著 a 還是將 b 作為結(jié)果呢，以什么邏輯選擇 a 和 b 呢，怎么證明你的選擇方法在概率上是公平的呢？

先說結(jié)論，當你遇到第 i 個元素時，應(yīng)該有 1/i 的概率選擇該元素，1 - 1/i 的概率保持原有的選擇。看代碼容易理解這個思路：

/* 返回鏈表中一個隨機節(jié)點的值 */ int getRandom(ListNode head) {Random r = new Random();int i = 0, res = 0;ListNode p = head;// while 循環(huán)遍歷鏈表while (p != null) {// 生成一個 [0, i) 之間的整數(shù)// 這個整數(shù)等于 0 的概率就是 1/iif (r.nextInt(++i) == 0) {res = p.val;}p = p.next;}return res; }

對于概率算法，代碼往往都是很淺顯的，但是這種問題的關(guān)鍵在于證明，你的算法為什么是對的？為什么每次以 1/i 的概率更新結(jié)果就可以保證結(jié)果是平均隨機（uniform random）？

證明：假設(shè)總共有 n 個元素，我們要的隨機性無非就是每個元素被選擇的概率都是 1/n 對吧，那么對于第 i 個元素，它被選擇的概率就是：

第 i 個元素被選擇的概率是 1/i，第 i+1 次不被替換的概率是 1 - 1/(i+1)，以此類推，相乘就是第 i 個元素最終被選中的概率，就是 1/n。

因此，該算法的邏輯是正確的。

同理，如果要隨機選擇 k 個數(shù)，只要在第 i 個元素處以 k/i 的概率選擇該元素，以 1 - k/i 的概率保持原有選擇即可。代碼如下：

/* 返回鏈表中 k 個隨機節(jié)點的值 */ int[] getRandom(ListNode head, int k) {Random r = new Random();int[] res = new int[k];ListNode p = head;// 前 k 個元素先默認選上for (int j = 0; j < k && p != null; j++) {res[j] = p.val;p = p.next;}int i = k;// while 循環(huán)遍歷鏈表while (p != null) {// 生成一個 [0, i) 之間的整數(shù)int j = r.nextInt(++i);// 這個整數(shù)小于 k 的概率就是 k/iif (j < k) {res[j] = p.val;}p = p.next;}return res; }

對于數(shù)學證明，和上面區(qū)別不大：

因為雖然每次更新選擇的概率增大了 k 倍，但是選到具體第 i 個元素的概率還是要乘 1/k，也就回到了上一個推導。

PS：我認真寫了 100 多篇原創(chuàng)，手把手刷 200 道力扣題目，全部發(fā)布在labuladong的算法小抄，持續(xù)更新。建議收藏，按照我的文章順序刷題，掌握各種算法套路后投再入題海就如魚得水了。

拓展延伸

以上的抽樣算法時間復雜度是 O(n)，但不是最優(yōu)的方法，更優(yōu)化的算法基于幾何分布（geometric distribution），時間復雜度為 O(k + klog(n/k))。由于涉及的數(shù)學知識比較多，這里就不列出了，有興趣的讀者可以自行搜索一下。

還有一種思路是基于「Fisher–Yates 洗牌算法」的。隨機抽取 k 個元素，等價于對所有元素洗牌，然后選取前 k 個。只不過，洗牌算法需要對元素的隨機訪問，所以只能對數(shù)組這類支持隨機存儲的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有效。

另外有一種思路也比較有啟發(fā)意義：給每一個元素關(guān)聯(lián)一個隨機數(shù)，然后把每個元素插入一個容量為 k 的二叉堆（優(yōu)先級隊列）按照配對的隨機數(shù)進行排序，最后剩下的 k 個元素也是隨機的。

這個方案看起來似乎有點多此一舉，因為插入二叉堆需要 O(logk) 的時間復雜度，所以整個抽樣算法就需要 O(nlogk) 的復雜度，還不如我們最開始的算法。但是，這種思路可以指導我們解決加權(quán)隨機抽樣算法，權(quán)重越高，被隨機選中的概率相應(yīng)增大，這種情況在現(xiàn)實生活中是很常見的，比如你不往游戲里充錢，就永遠抽不到皮膚。

最后，我想說隨機算法雖然不多，但其實很有技巧的，讀者不妨思考兩個常見且看起來很簡單的問題：

1、如何對帶有權(quán)重的樣本進行加權(quán)隨機抽取？比如給你一個數(shù)組 w，每個元素 w[i] 代表權(quán)重，請你寫一個算法，按照權(quán)重隨機抽取索引。比如 w = [1,99]，算法抽到索引 0 的概率是 1%，抽到索引 1 的概率是 99%。

2、實現(xiàn)一個生成器類，構(gòu)造函數(shù)傳入一個很長的數(shù)組，請你實現(xiàn) randomGet 方法，每次調(diào)用隨機返回數(shù)組中的一個元素，多次調(diào)用不能重復返回相同索引的元素。要求不能對該數(shù)組進行任何形式的修改，且操作的時間復雜度是 O(1)。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的labuladong的算法小抄pdf_随机算法：水塘抽样算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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