Fibonacci 数列
生活随笔
收集整理的這篇文章主要介紹了
Fibonacci 数列
小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.
斐波納契數列（Fibonacci Sequence），又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從1960年代起出版了《斐波納契數列》季刊，專門刊載這方面的研究成果。
斐波那契數列的發明者，是意大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍貫大概是比薩）。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》（Liber Abacci）一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當于今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。 斐波那契數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 這個數列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。斐波那契數列通項公式
通項公式
（見圖）（又叫“比內公式”，是用無理數表示有理數的一個范例。） 注：此時a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）通項公式的推導
斐波那契數列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 如果設F(n）為該數列的第n項（n∈N+）。那么這句話可以寫成如下形式： F(0) = 0，F⑴=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2）， 顯然這是一個線性遞推數列。 方法一：利用特征方程（線性代數解法） 線性遞推數列的特征方程為： X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。 則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。 ∵F⑴=F⑵=1。 ∴C1*X1 + C2*X2。 C1*X1^2 + C2*X2^2。 解得C1=√5/5，C2=-√5/5。 ∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根號5）。 方法二：待定系數法構造等比數列1（初等代數解法） 設常數r，s。 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 則r+s=1， -rs=1。 n≥3時，有。 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。 F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。 …… F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。 聯立以上n-2個式子，得： F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。 ∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。 上式可化簡得： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 那么： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。 …… = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。 （這是一個以s^(n-1）為首項、以r^(n-1）為末項、r/s為公比的等比數列的各項的和）。 =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。 =(s^n - r^n)/(s-r）。 r+s=1， -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。 則F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。 方法三：待定系數法構造等比數列2（初等代數解法） 已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求數列{an}的通項公式。 解 ：設an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。 得α+β=1。 αβ=-1。 構造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。 所以。 an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。 an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。 由式1，式2，可得。 an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。 an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。 將式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化簡得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。與黃金分割的關系
有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式卻是用無理數來表達的。而且當n趨向于無窮大時，后一項與前一項的比值越來越逼近黃金分割1.618.（或者說后一項與前一項的比值小數部分越來越逼近黃金分割0.618、前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割0.618） 1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…... 越到后面，這些比值越接近黃金比. 證明： a[n+2]=a[n+1]+a[n]。 兩邊同時除以a[n+1]得到： a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。 若a[n+1]/a[n]的極限存在，設其極限為x， 則lim[n->；；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；；∞](a[n+1]/a[n])=x。 所以x=1+1/x。 即x²=x+1。 所以極限是黃金分割比..編輯本段奇妙的屬性
斐波那契數列中的斐波那契數會經常出現在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數e（可以推出更多），黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。 隨著數列項數的增加，前一項與后一項之比越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887…… 從第二項開始，每個奇數項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前后兩項之積少1。（注：奇數項和偶數項是指項數的奇偶，而并不是指數列的數字本身的奇偶，比如第四項3是奇數，但它是偶數項，第五項5是奇數，它是奇數項，如果認為數字3和5都是奇數項，那就誤解題意，怎么都說不通）因為：經計算可得：an^2-a<n-1>a<n+1>=(-1)^(n-1)多了的一在哪？
如果你看到有這樣一個題目： 某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故 作驚訝地問你：為什么64=65？其實就是利用了斐波那契數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前后兩塊的面積 確實差1，只不過后面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到。 斐波那契數列的第n項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數的子集個數。 斐波那契數列（f(n），f(0)=0，f⑴=1，f⑵=1，f⑶=2……）的其他性質： 1.f(0)+f⑴+f⑵+…+f(n)=f(n+2)-1。 2.f⑴+f⑶+f⑸+…+f(2n-1)=f(2n）。 3.f⑵+f⑷+f⑹+…+f(2n) =f(2n+1)-1。 4.[f(0)]^2+[f⑴]^2+…+[f(n)]^2=f(n）·f(n+1）。 5.f(0)-f⑴+f⑵-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]-1。 6.f(m+n-1)=f(m-1）·f(n-1)+f(m）·f(n）。 利用這一點，可以用程序編出時間復雜度僅為O（log n）的程序。 怎樣實現呢？偽代碼描述一下 7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1）·f(n+1）。 8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。 9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2）。 10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]斐波那契數列
11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2. 12.f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)在楊輝三角中隱藏著斐波那契數列
?
將楊輝三角依次下降，成如圖所示排列，將同一行的數加起來，即得一數列1、1、2、3、5、8、…… 公式表示如下： f⑴=C(0,0)=1。 f⑵=C(1,0)=1。 f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。 f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。 f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。 f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。 F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。 …… F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)斐波那契數列的整除性與素數生成性
每3個數有且只有一個被2整除， 每4個數有且只有一個被3整除， 每5個數有且只有一個被5整除， 每6個數有且只有一個被8整除， 每7個數有且只有一個被13整除， 每8個數有且只有一個被21整除， 每9個數有且只有一個被34整除， ....... 我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是素數：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是） 斐波那契數列的素數無限多嗎？斐波那契數列的個位數：一個60步的循環
11235,83145,94370,77415,61785.38190, 99875,27965,16730,33695,49325,72910…斐波那契數與植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花 5………………………藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花 8………………………翠雀花 13………………………金盞?
和玫瑰 21………………………紫宛 34、55、89……………雛菊 斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數0，然后依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那些葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。編輯本段斐波那契—盧卡斯數列與廣義斐波那契數列
斐波那契—盧卡斯數列
盧卡斯數列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契數列同樣的性質。（我們可稱之為斐波那契—盧卡斯遞推：從第三項開始，每一項都等于前兩項之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2））。 這兩個數列還有一種特殊的聯系（如下表所示），F（n）*L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … |
| 斐波那契數列F(n) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | … |
| 盧卡斯數列L(n) | 1 | 3 | 4 | 7 | 11 | 18 | 29 | 47 | 76 | 123 | … |
| F(n)*L(n) | 1 | 3 | 8 | 21 | 55 | 144 | 377 | 987 | 2584 | 6765 | … |
斐波那契—盧卡斯數列之間的廣泛聯系
①任意兩個或兩個以上斐波那契—盧卡斯數列之和或差仍然是斐波那契—盧卡斯數列。 如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1），| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … |
| F[1,4]n | 1 | 4 | 5 | 9 | 14 | 23 | 37 | 60 | 97 | 157 | … |
| F[1,3]n | 1 | 3 | 4 | 7 | 11 | 18 | 29 | 47 | 76 | 123 | … |
| F[1,4]n-F[1,3]n | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | … |
| F[1,4]n+F[1,3]n | 2 | 7 | 9 | 16 | 25 | 41 | 66 | 107 | 173 | 280 | … |
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … |
| F[1,1](n) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | … |
| F[1,1](n-1) | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | … |
| F[1,1](n-1) | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | … |
| F[1,3]n | 1 | 3 | 4 | 7 | 11 | 18 | 29 | 47 | 76 | 123 | … |
黃金特征與孿生斐波那契—盧卡斯數列
斐波那契—盧卡斯數列的另一個共同性質：中間項的平方數與前后兩項之積的差的絕對值是一個恒值， 斐波那契數列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1 盧卡斯數列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5 F[1，4]數列：|4*4-1*5|=11 F[2，5]數列：|5*5-2*7|=11 F[2，7]數列：|7*7-2*9|=31 斐波那契數列這個值是1最小，也就是前后項之比接近黃金比例最快，我們稱為黃金特征，黃金特征1的數列只有斐波那契數列，是獨生數列。盧卡斯數列的黃金特征是5，也是獨生數列。前兩項互質的獨生數列只有斐波那契數列和盧卡斯數列這兩個數列。 而F[1，4]與F[2，5]的黃金特征都是11，是孿生數列。F[2，7]也有孿生數列：F[3，8]。其他前兩項互質的斐波那契—盧卡斯數列都是孿生數列，稱為孿生斐波那契—盧卡斯數列。廣義斐波那契數列
斐波那契數列的黃金特征1，還讓我們聯想到佩爾數列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（該類數列的這種特征值稱為勾股特征）。 佩爾數列Pn的遞推規則：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1). 據此類推到所有根據前兩項導出第三項的通用規則：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，稱為廣義斐波那契數列。 當p=1，q=1時，我們得到斐波那契—盧卡斯數列。 當p=1，q=2時，我們得到佩爾—勾股弦數（跟邊長為整數的直角三角形有關的數列集合）。 當p=-1，q=2時，我們得到等差數列。其中f1=1，f2=2時，我們得到自然數列1，2，3，4…。自然數列的特征就是每個數的平方與前后兩數之積的差為1（等差數列的這種差值稱為自然特征）。 具有類似黃金特征、勾股特征、自然特征的廣義斐波那契數列p=±1。 當f1=1，f2=2，p=2，q=1時，我們得到等比數列1，2，4，8，16……編輯本段相關的數學問題
1.排列組合
有一段樓梯有10級臺階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法? 這就是一個斐波那契數列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法…… 1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。 類似的，一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續出現正面的可能情形有多少種？ 答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144種。2.數列中相鄰兩項的前項比后項的極限
當n趨于無窮大時，F(n)/F(n+1）的極限是多少？ 這個可由它的通項公式直接得到，極限是（-1+√5)/2，這個就是黃金分割的數值，也是代表大自然的和諧的一個數字。 3.求遞推數列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通項公式 由數學歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），將斐波那契數列的通項式代入，化簡就得結果。3.兔子繁殖問題（關于斐波那契數列的別名）
斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。 一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？ 我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下： 第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對 兩個月后，生下一對小兔民數共有兩對 三個月以后，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對 －－－－－－ 依次類推可以列出下表：| 經過月數 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 幼仔對數 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 |
| 成兔對數 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
| 總體對數 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 |
C#語言程序
public class Fibonacci { //NormRen static void Main(string[] args) { int x = 0,y = 1; for (int j = 1; j < 10; j++,y = x + y,x = y - x) Console.Write(y + " "); } }轉載于:https://www.cnblogs.com/xust/articles/2615452.html
總結
以上是生活随笔為你收集整理的Fibonacci 数列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： EDM营销的三个小窍门-EDM营销必看
- 下一篇： phpstrtotime()对于31日求