EM算法--应用到三个模型： 高斯混合模型 ，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型...
主要是對Ng教授的machinelearning視頻學習和參考jerryLead講義整理（特別鳴謝~）：
由“判別模型、生成模型與樸素貝葉斯方法 ”一節得知：
判別模型求的是條件概率p(y|x)，
生成模型求的是聯合概率p(x,y) ? .即 =?p(x|y) ? p(y)?
常見的判別模型有線性回歸、對數回歸、線性判別分析、支持向量機、boosting、條件 隨機場、神經網絡等。
常見的生產模型有隱馬爾科夫模型、樸素貝葉斯模型、高斯混合模型、LDA、Restricted Boltzmann Machine等。
所以這里說的高斯混合模型，樸素貝葉斯模型都是求p(x,y)聯合概率的。(下面推導會見原因)
套路小結：?凡是生產模型，目的都是求出聯合概率表達式，然后對聯合概率表達式里的各個參數再進行估計，求出其表達式。
下面的EM算法，GMM等三個模型都是做這同一件事：設法求出聯合概率，然后對出現的參數進行估計。
?一、EM算法：
作用是進行參數估計。
應用：（因為是無監督，所以一般應用在聚類上，也用在HMM參數估計上）所以凡是有EM算法的，一定是無監督學習.因為EM是對參數聚集
給定訓練樣本是?樣例獨立，
我們想要知道每個樣例隱含的類別z，使是p(x,z)最大，（即?如果將樣本x(i)看作觀察值， 潛在類別z看作是隱藏變量， 則x可能是類別z， 那么聚類問題也就是參數估計問題，）
故p(x,z)最大似然估計是：
所以可見用到EM算法的模型（高斯混合模型，樸素貝葉斯模型）都是求p(x,y)聯合概率，為生成模型。
?
對上面公式，直接求θ一般比較困難，因為有隱藏變量z存在，但是一般確定了z后，求解就容易了。
EM是一種解決存在隱含變量優化問題的有效方法。竟然不能直接最大化?(θ)，我們可建立?的下界（E步），再優化下界（M步），見下圖第三步，取的就是下界
? （總式）
解釋上式：
對于每一個樣例 i，讓Qi表示該樣例隱含變量 z 的某種分布，Qi滿足的條件是 （如果 z 是連續性的，那么Qi是概率密度函數（因子分析模型就是如此），需要將求和符號換成積分符號即：因子分析模型是如此，這個會用在EM算法的M步求。
比如要將班上學生聚類，假設隱藏變量z是身高，那么就是連續的高斯分布。 如果按照隱藏變量是男女，那么就是伯努利分布（即兩點分布：）了。
上總式第1到第2步是分子分母同乘一個數，
第2到3步是：用了jasen不等式：?（凸函數圖形上表示反為凹函數，記住。）
如圖：? 。因為第2步log是凹函數 ：，所以f(E(x)) >= E[f(x)].這樣就完成了第3步（詳情見對應講義。）
?
至此推導完上面3步公式，下面所有模型都是對上面第3步公式進行參數估計的！！！
?
下面 對第三步的Q(z)進行推導：
（見講義）
所以Q(Z)最終表示：?，其中z只受參數θ影響。
所以EM算法：
（承上啟下：在m步中，最終是對參數θ進行估計，而這一步具體到高斯混合模型，則θ有三個參數：mu,phi,sigma代替，即高斯混合模型要推導三個參數，下面會講）
至此，這就是EM算法所有推導，EM算法推導也只能推導這些步，具體再將這些公式推導下去，就要結合模型了。
?
總結：
如果將樣本看作觀察值， 潛在類別看作是隱藏變量， ? 那么聚類問題也就是參數估計問題，只不過聚類問題中參數分為隱含類別變量和其他參數。
對應到EM上，E步估計隱含變量，M步估計其他參數，交替將極值推向最大。
例子：在Mitchell的Machine Learning書中也舉了一個EM應用的例子，將班上學生的身高都放在一起，要求聚成兩個類。這些身高可以看作是男生身高的高斯分布和女生 身高的高斯分布組成。因此變成了如何估計每個樣例是男生還是女生，然后在確定男女生情 況下，如何估計均值和方差，里面也給出了公式。
?
?
二、混合高斯模型：
將EM算法融到高斯混合模型，將上面EM算法的E步、M步的公式再具體推導下去。
?
整個模型簡單描述為：
對于每個樣例 ，我們先從k個類別中按多項式分布抽取一個，
然后根據所對應的 k 個多值高斯分布中的一個，生成樣例，整個過程稱作混合高斯模型。
（即對樣例x， 最終目的是生成樣例x。（？？）即對樣例x，從k個類別抽取一個z,從根據z生成x。）
?
特別地，混合高斯模型的
（1）隱含類別標簽?，被認為滿足多項式分布，即? (這里只受?參數（即phi）影響)
（2）樣例被認為滿足 高斯分布，即???(所以μ和Σ分別為樣例x的均值和協方差)
? ?補充：服從的多項式分布概率公式為：，即類似C(n,x)*p6^x*(1-p6)^(n-x) 類型
所以 上面（1）（2）可知混合高斯模型中，?這里的仍是隱含隨機變量。模型細化多了三個變量?，μ和Σ。(即是phi,mu,sigma).?
其中?j就是樣本類別中 ?= j的比率。μj是類別為 j 的樣本特征均值，Σj是類別為 j 的樣例的特征的協方差矩陣(Σj是一個矩陣！！)。
?
所以由上面（1）（2）合并得，最大似然估計p(x, z)，對數化后如下：
??? ? ? ?
?
? （對比一、EM算法里的總式：?，只是參數θ由原化成三個?，μ和Σ）
注意第二步有兩個迭加號。第二個迭加號是z(i)=1 直到k個類別。z只有k個類別。
?
?
參考一、中EM算法推導：
所以混合高斯模型：
從EM算法步驟的? ?變成：?（其中M步三個參數的右邊公式在下面會進行推導。這里直接先給出參數結果。）
?
1. E步： ??每個樣例i的隱含類別z(i)為j的概率 ?可以通過條件概率計算得到。即
? （E）
（這里貝葉斯公式，分子是z=j一種類別情況，分母是z={1~k}k中類別的累加）
1）對上式的分子第一項：（由上面加黃色背景段文字可知）服從高斯分布：，
故?=?? ?。（其中Σ即是）
2）對(E)式分子第二項（又上面可知） 服從 多項式分布：
? ? ? ? ? ?所以分子直接代入即可，所以?可以求得。
?
2.M步：
先給出最終結果為:?,推導如下：
先看EM算法的M步：
? ? ? ? ? ? ? ? ???（M）
? 下面對三個參數phi,mu,sigma(?，μ和Σ)分別進行求導:
（i）對μi 求導得(固定?i，Σi):
? ? ?? <--??它是由 （據Ng說求的過程不重要？）等于0時所得
? ? ? ? ??
（ii）對?i求導(固定μi，Σi）：
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? 推導過程用了SVM中的拉格朗日乘子方法：
因為?i是 隱性隨機變量z的多項式分布概率值，又有約束條件? ?
又由上面（M）步公式：
（why?????）
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以聯合上兩式，直接構成拉格朗日乘子：
， ??
?
（iii）Σ的推導：
也類似，不過稍微復雜一些，畢竟是矩陣。結果在之前的混合高斯模型中已經給出。
?
?
3.迭代：對上面E,M步進行迭代，最后一定會收斂（證明見講義）
?
如圖，最終收斂成2個類，這里的樣例收斂于橢圓，原因是高斯分布的二維幾何圖形是一個橢圓，（具體幾何圖形見下面因子分析，有詳解）
?
拓展：
混合高斯模型GMM與K-means比較：
相同點：都是可用于聚類的算法；都需要指定K值。
?
不同點：對GMM來說，引入了概率；GMM可以給出一個樣本屬于某類的概率是多少。所以高斯混合模型既可以做聚類，也可做概率密度估計
?
?三、混合樸素貝葉斯模型
? ?混合高斯的例子：文本聚類: 要對一系列的文本聚類成若干主題。（用svm寫文本分類是最好的）
news.google.com就是文本聚類一個應用
怎樣在文本新聞問題用到EM算法呢?
----->混合樸素貝葉斯模型。混合樸素貝葉斯模型有2個：多值伯努利事件模型（文本聚類就是用此）；多項式事件模型。
?
? ??模型描述為：
給定m個樣本的訓練集合是?， 每個文本屬于(0,1)^n。即每個文本是n維 0或1的向量。
?
故= { wordj 是否出現在文本i 里}?
我們要對(值是0或1) 進行建模，是隱含隨機變量，這里取兩個值：2個聚類。
? ? 所以對混合貝葉斯模型，假設??服從參數?有伯努利分布（兩點分布），即：?圖中x換成?即可）。
? ? ?故每個文本按某概率屬于聚類1或者聚類2
? ? ?
? ?同高斯混合模型，混合貝葉斯模型的聯合概率是：
又 ? ? 由貝葉斯公式可知：
? ? ?p(|) =?p(|?) ? ? （i）
? ??p(?= 1?|?= 0) ?=?? ? ? ? ?(ii)
? ? ? ? 把上面的z全部換成y,就得到常見的樸素貝葉斯公式：
?一般會前面兩個等式右邊的x=1，或省去=1，即寫成?i|y=1 = p(xi | y =1) ? ? ??i|y=0 ?= p(xi | y =0) ,默認x取了1 ?
其中p(y=1)表示類別1（例如類別1表示垃圾郵件）的在所有文本的概率。這里xi表示一個單詞，取值只有0或者1，表示出現在文本里或者沒有出現。
?
?
EM算法步驟：
1.E步：
?這里三個參數phi,mu,sigma,改成，，與?j|z
? ? ? ? ? ? ? ?將上面（i）（ii）式帶入即可求得
2.M步：
對比貝葉斯原公式：
? ? = ?? ?
? ??這里Wi表示文本來自于類1，分子Σ表示：類1且包含詞j的文檔個數，分布表示類1的文檔總數。所以全式表示：類1包含詞j的比率。
? ? ?? EM算法不能做出絕對的假設0或者1，所以只能用Wi表示，最終Wi的值會靠近0或1，在數值上與0或1無分別。
? =?? （分子的橫斜是多余的，忽略）
全式表示：類0包含詞j的比率
? ? ?
? ? ? ???j|z? ? ? ? ?=??
3.迭代上面12步驟，收斂，求出參數估計，帶回聯合概率，將聯合概率排序，由聯合概率最高值 ，可得知哪個文本是輸入哪個類了。
?
?
?
四、因子分析
? ? ? 轉至下篇博文?
?
?
轉載于:https://www.cnblogs.com/lifegoesonitself/archive/2013/05/19/3087143.html
總結
以上是生活随笔為你收集整理的EM算法--应用到三个模型： 高斯混合模型 ，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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