本文附的源程序是MATLAB代碼，總共不到80行，實現了 求雅克比矩陣的解析解，演示了Levenberg-Marquardt最優化迭代過程，演示了如何求解擬合問題。本文用圖文介紹了LM算法。轉帖請注明來自蜜蜂電腦，謝謝！

作者：沈樂君（www.shenlejun.cn）

什么是最優化，可分為幾大類？
答：Levenberg-Marquardt算法是最優化算法中的一種。最優化是尋找使得函數值最小的參數向量。它的應用領域非常廣泛，如：經濟學、管理優化、網絡分析 、最優設計、機械或電子設計等等。
根據求導數的方法，可分為2大類。第一類，若f具有解析函數形式，知道x后求導數速度快。第二類，使用數值差分來求導數。
根據 使用模型不同，分為非約束最優化、約束最優化、最小二乘最優化。

什么是Levenberg-Marquardt算法？
它是使用最廣泛的非線性最小二乘算法，中文為列文伯格-馬夸爾特法。它是利用梯度求最大（小）值的算法，形象的說，屬于“爬山”法的一種。它同時具有梯度 法和牛頓法的優點。當λ很小時，步長等于牛頓法步長，當λ很大時，步長約等于梯度下降法的步長。在作者的科研項目中曾經使用過多次。圖1顯示了算法從起 點，根據函數梯度信息，不斷爬升直到最高點（最大值）的迭代過程。共進行了12步。（備注：圖1中綠色線條為迭代過程）。?

圖1 LM算法迭代過程形象描述

圖1中，算法從山腳開始不斷迭代。可以看到，它的尋優速度是比較快的，在山腰部分直接利用梯度大幅度提升（參見后文例子程序中lamda較小時），快到山頂時經過幾次嘗試（lamda較大時），最后達到頂峰（最大值點），算法終止。

?

如何快速學習LM算法？

學 習該算法的主要困難是入門難。 要么國內中文教材太艱澀難懂，要么太抽象例子太少。目前，我看到的最好的英文入門教程是K. Madsen等人的《Methods for non-linear least squares problems》本來想把原文翻譯一下，貼到這里。請讓我偷個懶吧。能找到這里的讀者，應該都是E文好手，我翻譯得不清不楚，反而事倍功半了。

可在 下面的鏈接中找到
http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/public/publications.php? year=&pubtype=7&pubsubtype=&section=1&cmd=full_view&lastndays=&order=author
或者直接下載pdf原文：
http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3215/pdf/imm3215.pdf

例子程序（MATLAB源程序）
本程序不到100行，實現了 求雅克比矩陣的解析解，Levenberg-Marquardt最優化迭代，演示了如何求解擬合問題。采用《數學試驗》（第二版）中p190例2來演示。在MATLAB中可直接運行得到最優解。

% 計算函數f的雅克比矩陣，是解析式 syms a b y x real; f=a*exp(-b*x); Jsym=jacobian(f,[a b]) ? ? % 擬合用數據。參見《數學試驗》，p190，例2 data_1=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8]; obs_1=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01]; ? % 2. LM算法 % 初始猜測s a0=10; b0=0.5; y_init = a0*exp(-b0*data_1); % 數據個數 Ndata=length(obs_1); % 參數維數 Nparams=2; % 迭代最大次數 n_iters=50; % LM算法的阻尼系數初值 lamda=0.01; ? % step1: 變量賦值 updateJ=1; a_est=a0; b_est=b0; ? % step2: 迭代 for it=1:n_iters ??? if updateJ==1 ??????? % 根據當前估計值，計算雅克比矩陣 ??????? ? J=zeros(Ndata,Nparams); ??????? for i=1:length(data_1) ??????????? ? J(i,:)=[exp(-b_est*data_1(i)) -a_est*data_1(i)*exp(-b_est*data_1(i))]; ?????? ?end ??????? % 根據當前參數，得到函數值 ??????? y_est = ? a_est*exp(-b_est*data_1); ??????? % 計算誤差 ??????? ? d=obs_1-y_est; ??????? % 計算（擬）海塞矩陣 ??????? H=J'*J; ??????? % 若是第一次迭代，計算誤差 ??????? if it==1 ??????????? ? e=dot(d,d); ??????? end ??? end ? ??? % 根據阻尼系數lamda混合得到H矩陣 ? ??H_lm=H+(lamda*eye(Nparams,Nparams)); ??? % 計算步長dp，并根據步長計算新的可能的\參數估計值 ??? ? dp=inv(H_lm)*(J'*d(:)); ??? g = J'*d(:); ??? ? a_lm=a_est+dp(1); ??? ? b_lm=b_est+dp(2); ??? % 計算新的可能估計值對應的y和計算殘差e ??? y_est_lm = ? a_lm*exp(-b_lm*data_1); ??? ? d_lm=obs_1-y_est_lm; ??? e_lm=dot(d_lm,d_lm); ??? % 根據誤差，決定如何更新參數和阻尼系數 ??? if e_lm<e ??????? ? lamda=lamda/10; ??????? ? a_est=a_lm; ??????? ? b_est=b_lm; ??????? e=e_lm; ??????? disp(e); ??????? updateJ=1; ??? else ??????? updateJ=0; ??????? ? lamda=lamda*10; ??? end end %顯示優化的結果 a_est b_est

演示程序求解的問題是《數學試驗》（蕭樹鐵,第二版,高等教育出版社）中p190例2。為了方便讀者，提供該書籍的數據和目標函數照片（2012年4月1日）。本文來自:ｓｈｅｎｌｅｊｕｎ．ｃｎ.

C++源碼

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/rotten_potato/p/3275316.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Levenberg-Marquardt快速入门教程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。