當要求遞推數列的第n項且n很大時，怎么快速求得第n項呢?
可以用矩陣快速冪來加速計算。
我們可以用矩陣來表示數列遞推公式
比如fibonacci數列 可以表示為 [f(n) ? f(n-1)] = [f(n-1) ? ?f(n-2)] [ 1 1 ]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ? ?　[ 1 0 ]?
設A = [ 1 1 ]

　　 ?[ 1 0 ]

[f(n) ? f(n-1)] = [f(n-2) ? f(n-3)]*A*A
[f(n) ? f(n-1)] = [f(2) ? f(1)]*A^(n-2)
矩陣滿足結合律，所以先計算A^(n-2)，這個可以用一般快速二分冪的思想來計算。

BestCoder Round#8 1002
當n為奇數時，f(n) = 2 * f(n-1) + 1
當n為偶數時，f(n) = 2 * f(n-1)
將偶數項獨立出來形成單獨的一個數列 b(2*n) = 2 * b(2*n-1) + 1 = 4 * (2*n-2) + 2
即b(n) = 4 * b(n-1) + 2
當n為偶數時，計算b(n/2)即可
當n為奇數時，計算b(n/2) * 2 + 1即可
因為n很大，可以用矩陣快速冪來加速
遞推矩陣為 [b(n) ? 2] = [b(n-1] ? 2] * [ 4 0 ]
　　　　　　　　　　　　　 ?　 ? ? [ 1 1 ]

?

1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 typedef long long LL; 4 struct Matrix 5 { 6 LL matrix[2][2]; 7 }; 8 int n,m; 9 Matrix operator *(const Matrix &lhs, const Matrix &rhs) 10 { 11 Matrix res; 12 memset(res.matrix, 0 ,sizeof(res.matrix)); 13 int i,j,k; 14 for(k=0; k<2; ++k) 15 for(i=0; i<2; ++i) 16 { 17 if(lhs.matrix[i][k] == 0) continue; 18 for(j=0; j<2; ++j) 19 { 20 if(rhs.matrix[k][j] == 0) continue; 21 res.matrix[i][j] = (res.matrix[i][j] + lhs.matrix[i][k] * rhs.matrix[k][j]) % m; 22 } 23 } 24 return res; 25 } 26 Matrix operator ^(Matrix a, int k) 27 { 28 Matrix res; 29 int i,j; 30 for(i=0; i<2; ++i) 31 for(j=0; j<2; ++j) 32 res.matrix[i][j] = (i == j); 33 while(k) 34 { 35 if(k & 1) 36 res = res * a; 37 a = a * a; 38 k>>=1; 39 } 40 return res; 41 } 42 43 int main() 44 { 45 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) 46 { 47 Matrix a; 48 a.matrix[0][0] = 4; 49 a.matrix[0][1] = 0; 50 a.matrix[1][0] = a.matrix[1][1] = 1; 51 int k = n / 2; 52 a = a ^ k; 53 LL ans =(2 * a.matrix[1][0]) % m; 54 if(n & 1 == 1) 55 ans = (ans * 2 + 1) % m; 56 printf("%lld\n",ans); 57 58 59 } 60 return 0; 61 } View Code

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總結

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