本文轉(zhuǎn)載的，覺得比較詳細(xì)

快速冪取模算法

在網(wǎng)站上一直沒有找到有關(guān)于快速冪算法的一個詳細(xì)的描述和解釋，這里，我給出快速冪算法的完整解釋，用的是C語言，不同語言的讀者只好換個位啦，畢竟讀C的人較多~

所謂的快速冪，實(shí)際上是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求一個冪式的模(余)。在程序設(shè)計過程中，經(jīng)常要去求一些大數(shù)對于某個數(shù)的余數(shù)，為了得到更快、計算范圍更大的算法，產(chǎn)生了快速冪取模算法。[有讀者反映在講快速冪部分時有點(diǎn)含糊，所以在這里對本文進(jìn)行了修改，作了更詳細(xì)的補(bǔ)充，爭取讓更多的讀者一目了然]

我們先從簡單的例子入手：求=?幾。

算法1.首先直接地來設(shè)計這個算法：

int?ans?=?1;

for(int?i?=?1;i<=b;i++)

{

ans?=?ans?*?a;

}

ans?=?ans?%?c;

這個算法的時間復(fù)雜度體現(xiàn)在for循環(huán)中，為O（b）.這個算法存在著明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢出。

那么，我們先來看看第一個改進(jìn)方案：在講這個方案之前，要先有這樣一個公式：

.這個公式大家在離散數(shù)學(xué)或者數(shù)論當(dāng)中應(yīng)該學(xué)過，不過這里為了方便大家的閱讀，還是給出證明：

引理1：

上面公式為下面公式的引理，即積的取余等于取余的積的取余。

證明了以上的公式以后，我們可以先讓a關(guān)于c取余，這樣可以大大減少a的大小，

于是不用思考的進(jìn)行了改進(jìn)：

算法2：

int?ans?=?1;

a?=?a?%?c;?//加上這一句

for(int?i?=?1;i<=b;i++)

{

ans?=?ans?*?a;

}

ans?=?ans?%?c;

聰明的讀者應(yīng)該可以想到，既然某個因子取余之后相乘再取余保持余數(shù)不變，那么新算得的ans也可以進(jìn)行取余，所以得到比較良好的改進(jìn)版本。

算法3：

int?ans?=?1;

a?=?a?%?c;?//加上這一句

for(int?i?=?1;i<=b;i++)

{

ans?=?(ans?*?a)?%?c;//這里再取了一次余

}

ans?=?ans?%?c;

這個算法在時間復(fù)雜度上沒有改進(jìn)，仍為O(b)，不過已經(jīng)好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪算法。

快速冪算法依賴于以下明顯的公式，我就不證明了。

有了上述兩個公式后，我們可以得出以下的結(jié)論：

1.如果b是偶數(shù)，我們可以記k?=?a2?mod?c，那么求(k)b/2?mod?c就可以了。

2.如果b是奇數(shù)，我們也可以記k?=?a2?mod?c，那么求

((k)b/2?mod?c?×?a?)?mod?c?=((k)b/2?mod?c?*?a)?mod?c?就可以了。

那么我們可以得到以下算法：

算法4：

int?ans?=?1;

a?=?a?%?c;

if(b%2==1)

ans?=?(ans?*?a)?mod?c;?//如果是奇數(shù)，要多求一步，可以提前算到ans中

k?=?(a*a)?%?c;?//我們?nèi)2而不是a

for(int?i?=?1;i<=b/2;i++)

{

ans?=?(ans?*?k)?%?c;

}

ans?=?ans?%?c;

我們可以看到，我們把時間復(fù)雜度變成了O(b/2).當(dāng)然，這樣子治標(biāo)不治本。但我們可以看到，當(dāng)我們令k?=?(a?*?a)?mod?c時，狀態(tài)已經(jīng)發(fā)生了變化，我們所要求的最終結(jié)果即為(k)b/2?mod?c而不是原來的ab?mod?c，所以我們發(fā)現(xiàn)這個過程是可以迭代下去的。當(dāng)然，對于奇數(shù)的情形會多出一項(xiàng)a?mod?c，所以為了完成迭代，當(dāng)b是奇數(shù)時，我們通過

ans?=?(ans?*?a)?%?c;來彌補(bǔ)多出來的這一項(xiàng)，此時剩余的部分就可以進(jìn)行迭代了。

形如上式的迭代下去后，當(dāng)b=0時，所有的因子都已經(jīng)相乘，算法結(jié)束。于是便可以在O（log?b）的時間內(nèi)完成了。于是，有了最終的算法：快速冪算法。

算法5：快速冪算法

int?ans?=?1;

a?=?a?%?c;

while(b>0)

{

if(b?%?2?==?1)

ans?=?(ans?*?a)?%?c;

b?=?b/2;

a?=?(a?*?a)?%?c;

}

將上述的代碼結(jié)構(gòu)化，也就是寫成函數(shù)：

int?PowerMod(int?a,?int?b,?int?c)

{

int?ans?=?1;

a?=?a?%?c;

while(b>0)

{

if(b?%?2?=?=?1)

ans?=?(ans?*?a)?%?c;

b?=?b/2;

a?=?(a?*?a)?%?c;

}

return?ans;

}

本算法的時間復(fù)雜度為O（logb），能在幾乎所有的程序設(shè)計（競賽）過程中通過，是目前最常用的算法之一。

以下內(nèi)容僅供參考：

擴(kuò)展：有關(guān)于快速冪的算法的推導(dǎo)，還可以從另一個角度來想。

=？?求解這個問題，我們也可以從進(jìn)制轉(zhuǎn)換來考慮：

將10進(jìn)制的b轉(zhuǎn)化成2進(jìn)制的表達(dá)式：

那么，實(shí)際上，.

所以

注意此處的要么為0，要么為1，如果某一項(xiàng)，那么這一項(xiàng)就是1，這個對應(yīng)了上面算法過程中b是偶數(shù)的情況，為1對應(yīng)了b是奇數(shù)的情況[不要搞反了，讀者自己好好分析，可以聯(lián)系10進(jìn)制轉(zhuǎn)2進(jìn)制的方法]，我們從依次乘到。對于每一項(xiàng)的計算，計算后一項(xiàng)的結(jié)果時用前一項(xiàng)的結(jié)果的平方取余。對于要求的結(jié)果而言，為時ans不用把它乘起來，[因?yàn)檫@一項(xiàng)值為1]，為1項(xiàng)時要乘以此項(xiàng)再取余。這個算法和上面的算法在本質(zhì)上是一樣的，讀者可以自行分析，這里我說不多說了，希望本文有助于讀者掌握快速冪算法的知識點(diǎn)，當(dāng)然，要真正的掌握，不多練習(xí)是不行的。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/JJCHEHEDA/p/4662369.html

總結(jié)

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