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抽样分布与统计推断

發(fā)布時(shí)間:2025/4/16 97 豆豆
生活随笔 收集整理的這篇文章主要介紹了 抽样分布与统计推断 小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

抽樣分布:

  • χ2 分布
  • t 分布
  • F 分布

樣本是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷(statistic inference)的依據(jù)。在應(yīng)用時(shí),往往不是直接使用樣本本身,而是針對(duì)不同的問(wèn)題構(gòu)造樣本的適當(dāng)函數(shù),利用這些樣本的函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。

1. 常用統(tǒng)計(jì)量

設(shè) X1,X2,,Xn 是來(lái)自總體 X 的一個(gè)樣本,g(X1,X2,,Xn)X1,X2,,Xn 的函數(shù),若 g(?) 中不含未知參數(shù),則稱(chēng) g(X1,X2,,Xn)(函數(shù))是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。

  • 統(tǒng)計(jì)量是關(guān)于所抽樣樣本 X1,X2,,Xn 的函數(shù);
  • 因?yàn)?X1,X2,,Xn 都是隨機(jī)變量,統(tǒng)計(jì)量 g(X1,X2,,Xn) 是隨機(jī)變量的函數(shù),因此統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量;
  • 統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布;

設(shè) x1,x2,,xn 是相應(yīng)于樣本 X1,X2,,Xn樣本值,則稱(chēng) g(x1,x2,,xn)g(X1,X2,,Xn)觀(guān)察值

2. 常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量

下面列出幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量,設(shè) X1,X2,,Xn 是來(lái)自總體 X 的一個(gè)樣本,x1,x2,,xn 是這一樣本的觀(guān)察值。

  • 樣本均值:Xˉ=1nni=1Xi
  • 樣本方差:S2=1n?1ni=1(Xi?Xˉ)2=1n?1(ni=1X2i?nXˉ2)
  • 樣本標(biāo)準(zhǔn)差:S=1n?1ni=1(Xi?Xˉ)2????????????????
  • 樣本的 k 階原點(diǎn)矩(Xk=Xk?0):Ak=1nni=1Xki
  • 樣本的 k 階中心矩:Bk=1nni=1(Xi?Xˉ)k

3. χ2 分布

設(shè) X1,X2,,Xn 是來(lái)自總體 N(0,1) 的樣本,則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量:

χ2=X21+X22++X2n
服從自由度為 nχ2 分布,記為 χ2χ2(n)

χ2 分布的可加性:

  • χ21χ2(n1),χ22χ2(n2),且二者相互獨(dú)立 ? χ21+χ22χ2(n1+n2)

χ2 分布的數(shù)學(xué)期望和方差,若 χ2χ2(n),則有 E(χ2)=n,D(χ2)=2n

XiN(0,1),則有 E(X2i)=D(Xi)=1D(X2i)=E(X4i)?(E(X2i))2=3!!?1=2,所以有,

3. χ2 分布的分位點(diǎn)

對(duì)于給定的正數(shù) α0<α<1,稱(chēng)滿(mǎn)足條件:

P{χ2>χ2α(n)}=α=χ2α(n)f(y)dy

的點(diǎn) χ2α(n)χ2(n) 分布的上 α 分位點(diǎn)。

4. 例題

  • 設(shè) X1,X2,X3,X4 是來(lái)自正態(tài)整體 N(0,22) 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,記 Y=a(X1?2X2)2+b(3X1?4X2)2,已知 a,b 為常數(shù),且 Yχ2(n),則 n=?

    χ2(n) 分布要求是多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的加和(至少是一個(gè)),X1?2X2N(0,20),3X1?4X2N(0,100),因此 X1?2X220N(0,1)3X1?4X210(0,1)

    • a=120b=1100 ? n = 2
    • a=120,b=0 或者 a=0,b=1100,n ? 1

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/mtcnn/p/9424130.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的抽样分布与统计推断的全部?jī)?nèi)容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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