【CF913F】Strongly Connected Tournament

題意：有n個人進行如下錦標賽：

1.所有人都和所有其他的人進行一場比賽，其中標號為i的人打贏標號為j的人(i<j)的概率為$p=a\over b$。
2.經過過程1后我們相當于得到了一張競賽圖，將圖中所有強聯通分量縮到一起，可以得到一個鏈，然后對每個大小>1的強聯通分量重復過程1。
3.當沒有大小>1的強連通分量時錦標賽結束。

現在給出n,a,b，求期望比賽的場數。

$n\le 2000,a<b\le 1000$

題解：神題。先給出DP方程：

$ans(0)=ans(1)=0$

$ans(i)=\sum\limits_{j=1}^istrong(j)\times cp(i,j) \times (\frac {j(j-1)} 2+j(i-j)+ans(j)+ans(i-j)),i>1$

解釋一下，我們此處相當于枚舉了鏈上最后一個強聯通分量的大小。其中strong(j)表示一個大小為j的點集是強連通分量的概率，cp(i,j)表示i中選出j個人使得這j個人全部輸給了余下i-j個人的概率。注意這個方程的左右兩邊都有ans(i)這一項，我們到時候應該移項處理。

如何求strong(i)呢？我們考慮容斥，枚舉其中出現一個大小<i的強聯通分量的概率，即：

$strong(i)=1-\sum\limits_{j=1}^{i-1}strong(j)\times cp(i,j)$

如何求cp(i,j)呢？求法類似于組合數的遞推方法。我們考慮i中標號最大的那個人，便能得到：

$cp(i,j)=cp(i-1,j-1)\times (1-p)^{i-j}+cp(i-1,j)\times p^j$

時間復雜度$O(n^2)$。

?

#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream>using namespace std; typedef long long ll; const ll P=998244353; int n; ll p; ll c[2010][2010],s[2010],f[2010],p0[2010],p1[2010]; inline ll pm(ll x,ll y) {ll z=1;while(y){if(y&1) z=z*x%P;x=x*x%P,y>>=1;}return z; } int main() {scanf("%d",&n);int i,j,a,b;scanf("%d%d",&a,&b),p=a*pm(b,P-2)%P;f[0]=f[1]=0,s[1]=1;for(p0[0]=p1[0]=1,i=1;i<=n;i++) p0[i]=p0[i-1]*p%P,p1[i]=p1[i-1]*(1-p)%P;for(i=0;i<=n;i++){c[i][0]=1;for(j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]*p1[j]+c[i-1][j-1]*p0[i-j])%P;}for(i=1;i<=n;i++){s[i]=1;for(j=1;j<i;j++) s[i]=(s[i]-s[j]*c[i][j])%P;}for(i=2;i<=n;i++){ll tmp=0;for(j=1;j<i;j++) tmp=(tmp+s[j]*c[i][j]%P*(f[j]+f[i-j]+j*(j-1)/2+j*(i-j)))%P;tmp=(tmp+s[i]*(i*(i-1)/2))%P;f[i]=tmp*pm(1-s[i],P-2)%P;}printf("%lld",(f[n]+P)%P);return 0; }

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/CQzhangyu/p/8283069.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【CF913F】Strongly Connected Tournament 概率神题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。