“?該材料包括卡爾曼濾波的基本技術背景和更實際的應用方面：如何在數學模型中表示問題，分析系統設計參數函數的估計器性能，在數值穩定算法中實現力學方程，評估其性能計算要求，測試結果的有效性，監控濾波器的運行性能。”

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首先：什么是卡爾曼濾波器？

理論上，它被稱為線性最小均方估計(LLSME)，因為它使線性隨機系統的均方估計誤差最小化。它也被稱為線性二次估計器(LQE)，因為它使測量白噪聲和干擾噪聲的線性動態系統的估計誤差的二次函數最小化。直到今天，它的發現已經過去了半個多世紀，它仍然是估計理論史上一個獨特的成就。它是隨機系統實時最優估計問題的唯一一個實用的有限維解，除了具有有限平均值和第二中心矩(協方差)外，它對潛在概率分布的假設很少。它的數學模型有一系列的重要應用，包括噪聲測量，為了估計具有少于可預測干擾的動態系統的當前狀態。盡管已經發展了許多近似方法來將其應用擴展到非線性問題，并且幾十年來致力于將其推廣到非線性應用中，但是對于非線性問題還沒有找到類似的一般解。

實際上，Kalman濾波器是數學工程的重大發現之一，它用數學模型來解決工程問題，就像用數學物理來解決物理問題，或者用計算數學來解決計算機應用中的效率和精度問題一樣。它最直接的應用是監測和控制復雜的動態系統，如連續制造過程、飛機、船舶或航天器。要控制一個動態系統，首先必須知道它在做什么。對于這些應用，并不總是能夠測量您想要控制的每個變量，而Kalman濾波器提供了間接和從噪聲測量中推斷未測量變量的數學框架。Kalman濾波器還用于預測人們不太可能控制的動態系統的未來可能的走向，例如洪水期間河流的流量、天體的軌跡或交易商品和證券的價格。它已成為一種通用工具，用于將不同的傳感器和/或數據采集系統集成到一個整體最優的解決方案中。

另一個額外的好處是，Kalman濾波模型可以作為一種工具，用于評估動態系統軌跡可能的場景下替代傳感器系統設計的相對精度。沒有這種能力，許多復雜的傳感器系統(包括全球導航衛星系統)的開發就不可能實現。

從實際的角度來看，本書將呈現以下觀點：

• 它只是一種工具。它本身并不能解決任何問題，盡管它可以使你做起來更容易。它不是物理工具，而是數學工具。數學工具使腦力勞動更有效率，正如機械工具使體力勞動更有效率一樣。與任何工具一樣，在有效地應用它之前，了解它的用途和功能是很重要的。這本書的目的是使你充分熟悉和熟練使用卡爾曼濾波器，你可以正確和有效地應用它。

• 它是一個計算機程序。它被認為“非常適合在數字計算機上實現”，部分原因是它使用有限數量的變量來表示估計問題。然而，它確實假設這些變量是具有無限精度的實數。它在使用中遇到的一些問題來自于有限維和有限信息的區別以及“有限”和“可管理”問題大小的區別。這些都是Kalman濾波在實際應用中必須與理論一起考慮的問題。

• 它是一個估計問題的一致統計特征。它不僅僅是一個估計器，因為它傳播動態系統的當前知識狀態，包括由隨機動態擾動和傳感器噪聲引起的均方不確定性。這些特性對于傳感器系統的統計分析和預測設計非常有用。

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它是如何被稱為過濾器的

過濾器這一術語應用于估計器似乎有些奇怪。更常見的是，過濾器是去除混合物中不需要的部分的物理裝置。(felt一詞來源于中世紀拉丁語詞干，用于表示用作液體過濾器的材料。)最初，過濾器解決了分離液體-固體混合物中不需要的成分的問題。在水晶收音機和真空管的時代，這個術語被用于模擬電路“過濾”電子信號。這些信號是不同頻率成分的混合物，這些物理設備優先衰減不需要的頻率。

這一概念在20世紀30年代和40年代被擴展到“信號”與“噪聲”的分離，兩者都以其功率譜密度為特征。Kolmogorov和wiener利用概率分布的統計特性，在給定信號和噪聲之和的情況下，形成信號的最優估計。

在Kalman濾波中，這個詞的含義遠遠超出了分離混合物成分的最初想法。它還包括了一個反演問題的解，在這個問題中，人們知道如何將可測量的變量表示為主要關心的變量的函數。本質上，它顛倒了這種函數關系，并將自變量估計為因變量(可測量)的逆函數。這些感興趣的變量也可以是動態的，其動態性只能部分預測。

它的數學基礎

圖1.1描述了構成卡爾曼濾波理論基礎的基本主題。盡管這表明Kalman濾波是金字塔的頂點，但它本身只是另一門學科“現代”控制理論和統計決策理論的一部分基礎。在這本書中，我們將只考察金字塔的前三層，以及一些基礎數學。

圖1.1 卡爾曼濾波的基本概念

它的用途是什么

Kalman濾波的應用涉及很多領域，但它作為一種工具的用途幾乎只限于兩個目的：估計和估計量的性能分析。

• 估計動態系統的狀態。什么是動態系統？幾乎所有的東西，如果你挑剔的話。除了一些基本的物理常數外，宇宙中幾乎沒有任何東西是真正恒定的。矮行星谷神星的軌道參數不是恒定不變的，甚至“固定”的恒星和大陸也在移動。幾乎所有的物理系統在某種程度上都是動態的。如果一個人想要非常精確地估計它們隨時間變化的特征，那么就必須考慮它們的動態。問題是，人們也不總是非常精確地了解它們的動態?？紤]到這種部分無知的狀態，最好的辦法就是用概率更精確地表達我們的無知。Kalman濾波器允許我們利用這些統計信息來估計具有某種隨機行為的動態系統的狀態。表1.1的第二列列出了一些此類系統的例子。

• 估計系統的性能分析。表1.1的第三列列出了一些可能用于估計相應動態系統狀態的傳感器類型。設計分析的目的是確定在給定的一組性能標準下如何最好地使用這些傳感器類型。這些標準通常與估算精度和系統成本有關。

表1.1?估計問題示例

應用	動態系統	傳感器類型
過程控制	化工廠	壓力
		溫度
		流量
		氣體分析儀
洪水預測	河流系統	水位
		雨量計
		氣象雷達
跟蹤	航天器	雷達
		成像系統
導航	船	六分儀
		日志
		陀螺儀
		加速度計
		全球導航衛星系統接收機

Kalman濾波器在確定最佳濾波增益時使用其估計誤差概率分布的參數表征，并且這些參數可用于評估其作為估計系統“設計參數”的函數的性能，例如

• 使用的傳感器類型；

• 與待估計系統有關的各種傳感器類型的位置和方向；

• 傳感器的允許噪聲特性；

• 平滑傳感器噪聲的預濾波方法；

• 各種傳感器類型的數據采樣率，以及

• 簡化模型以減少實現需求的級別。

Kalman濾波器形式的分析能力還允許系統設計者為估計系統的子系統分配“誤差預算”，并在預算分配中進行權衡，以優化成本或其他性能指標，同時達到所需的估計精度水平。

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關于最優估計方法

Kalman濾波器是幾個世紀以來許多有創造性的思想者的思想演變過程的結果。我們在這里展示了這個過程中的一些開創性的想法，它們的發現者在圖1.2中以歷史的視角列出。這份清單絕不是詳盡無遺的。涉及到的人太多了，無法全部展示出來，但這個數字應該能讓人對所涉及的時間段有所了解。這個數字只覆蓋了500年，數學概念的研究和發展可以追溯到歷史之外。對最優估計更詳細的歷史感興趣的讀者可以參考Kailath、Lainiotis、Mendel和Gieseking和Sorenson的調查文章以及Battin和Schmidt的個人成果。

圖1.2 估算技術的一些重要貢獻者的時間線

最優估計理論的發展

從噪聲數據中形成最優估計的第一種方法是最小二乘法。它通常認為是卡爾·弗里德里?！じ咚?1777-1855)于1795年發現的。測量誤差的不可避免性自伽利略時代(1564-1642)就已被認識到，但這是第一個處理測量誤差的正式方法。雖然它更常用于線性估計問題，但高斯首先將其用于數學天文學中的非線性估計問題，這是天文學史上一個有趣的事件。

1801年1月1日，十九世紀的第一天，意大利天文學家朱塞佩·皮亞齊正在檢查星表中的一個條目。皮亞齊不知道，它存在一個打印錯誤。在尋找那顆“失蹤”的恒星時，皮亞齊卻發現了一些移動的東西。它是“矮行星”谷神星——小行星帶中最大的天體，也是第一個被發現的天體，但皮亞齊還不知道這一點。他能夠在41個晚上跟蹤和測量它在“固定”恒星背景下的明顯運動，直到它離太陽太近而消失。

1月24日，皮亞齊把他的發現寫信給約翰·博德。博德最為人所知的是博德定律，它指出行星到太陽的距離，以天文單位表示，是由序列給出的

事實上，1772年第一次提出這個公式的不是伯德，而是約翰蒂茨。那時，只有六顆已知的行星。1781年，弗里德里?！ず招獱柊l現了天王星，它很好地符合n=6的公式。當n=3時還沒有發現行星。在博德的推動下，一個歐洲天文學家協會已經尋找“失蹤”的第八顆行星近30年。皮亞齊不是這個協會的一員，但他確實告訴了博德他的意外發現。

皮亞齊的信直到3月20日才到達博德那里。博德懷疑皮亞齊的發現可能是失蹤的行星，但是沒有足夠的數據來確定它的軌道元素。這是非線性方程組中的一個問題，牛頓本人曾宣稱這是數學天文學中最困難的問題之一。沒有人解決它，結果谷神星又在太空中迷失了方向。

皮亞齊的發現直到1801年秋天才發表。在新世紀開始之際，一顆新行星可能被發現并隨之消失，這是一個令人興奮的消息。它與一個哲學上的理由相矛盾，即只有七顆行星存在于谷神星之前，這個數字是由受人尊敬的哲學家格奧爾格·黑格爾等人所捍衛的。黑格爾最近出版了一本書，他在書中斥責天文學家浪費時間尋找第八顆行星，而當時有充分的哲學理由證明只有七顆。這個新天體幾乎成了各地知識界討論的話題。幸運的是，這個問題引起了哥廷根大學一位名叫卡爾·弗里德里希·高斯的24歲數學家的注意。

幾周前，高斯曾嘗試過軌道確定的問題，但為了其他事情，他把它放在一邊。現在他把大部分時間都花在這個問題上，在12月對谷神星的軌道進行了估計，并把他的結果發送給皮亞齊。這顆新的“行星”(后來被重新歸類為小行星)在今年的第一天被發現，在今年的最后一天，它的發現者再次發現了它。

高斯直到1809年才發表他的軌道測定方法。在這本出版物中，他還描述了他在1795年18歲時發現的最小二乘法，并用它來改進他對谷神星軌道的估計。

盡管谷神星在發現的歷史上扮演了重要的角色，而且它仍然定期出現在夜空中，但它作為一個挑戰智力興趣的對象已經逐漸淡出人們的視線，直到2007年發射了科學探測器“黎明”號，并于2015年與谷神星會合。另一方面，最小二乘法自提出以來，一直是幾代科學家和技術人員研究和應用的對象。它對科學史產生了深遠的影響。它是第一個最優估計方法，它為實驗科學和理論科學之間提供了一個重要的聯系：它為實驗學家提供了一種估計理論模型未知參數的實用方法。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的移动平均滤波_Kalman滤波理论与MATLAB实现引言的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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