當公式或文字展示不完全時，記得向左←滑動哦！

摘要：本節主要介紹歐氏空間中子空間與對稱變換在考研中的考察，對于子空間的考察而言，更多的側重于考察正交補空間；而對于對稱變換，大家一定要熟記定義，看到對稱變換的時候，知道如何使用定義去處理題目，達到解決問題的目的.

一.子空間

定義1. 設是歐氏空間V中的兩個子空間.如果對于任意的恒有

則稱為正交的，記為一個向量α，如果對于任意的恒有

則稱α與子空間記作α

因為只有零向量與它自身正交，所以由可知由可知α=0.

定理1. 如果子空間兩兩正交，那么和是直和.

證明：設且

我們來證明這就是說，和

是直和.

定義2. 子空間稱為子空間的一個正交補，如果，并且顯然，如果是的正交補,那么也是的正交補.

定理2. n維歐氏空間V的每一個子空間都有唯一的正交補.

證明：如果那么它的正交補就是V，唯一性顯然. 下面設

歐氏空間的子空間在所定義的內積之下也是一個歐氏空間.在中取一組基

進一步把它擴充為V的一組正交基

顯然，子空間

就是的正交補. 再來證明唯一性.設都是的正交補，于是

令由第二式即有

其中.

因為所以有

即由此可知即

同理可證

因此唯一性得證.

的正交補記作由定義可知

二.對稱變換

定義3.在歐氏空間V中，線性變換如果滿足

那么稱是V上的對稱變換.

例1.設是n維歐氏空間V上的線性變換，則

證明：由于

所以只需要證明

任取

則且存在

使得

，于是結合是對稱變換有

于是可得α=0，即

從而可得

例2.設是歐氏空間V上的一個對稱變換，如果W是的不變子空間，那么也是的不變子空間.

證明：任取由于W是的不變子空間，因此對于任意有

從而

因此于是是的不變子空間.

巖寶小提示：這一題就是不變子空間和對稱變換的結合，大家一定要記住!!!

例3.已知是是n維歐氏空間V上的線性變換，

是V的一組基，其度量矩陣為在這組基下的矩陣為A，則為對稱變換的充要條件為

證明：設

是V中任意的兩個向量，于是

于是

在對稱變換的基礎上，大家和巖寶一起探究一下實對稱矩陣的不同特征子空間是正交的，這一性質在解題中的應用.

例4.已知是一個3級正定矩陣，1是的一個2重特征值，且A的每行元素之和都為3，求矩陣A.

證明：因為A的每行元素之和都為3，所以可知

，

令

，對于ξ單位化，即，

是屬于特征值3的單位特征向量，同時在設是屬于特征值1的兩個正交的單位特征向量，記

，

則T是一個正交矩陣，且

，

于是

因為T為正交矩陣可知即有

于是

將上式代入(1)中可得

故得到存在且唯一的矩陣

三.巖寶同步思考練習

1.已知3級正定矩陣A的三個特征值為6,3,3，且是屬于特征值6的一個特征向量,求A. 2.已知4階實對稱矩陣A的特征值為1(三重)，-3，且

是屬于特征值1的特征向量，求矩陣A.

3.(2017華南理工大學)設σ為歐氏空間V上的對稱變換，證明：對任意的α∈V都有

的充分必要條件為σ的特征值全是非負實數. 4.(2003武漢大學)設為維歐氏空間的對稱變換，證明：

5.設σ是n維歐氏空間V上的一個對稱變換，則V中存在一個標準正交基，使得σ在這個基下的矩陣為對角矩陣.

掃碼關注我們2021考研交流QQ群：282581218加微信等待驗證后入群：math_kaoyan

留言評論區(請點擊這里)

《新程序員》：云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結

以上是生活随笔為你收集整理的空间正交基的定义_高等代数|第九章 欧几里得空间 子空间与对称变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。