同等學(xué)力計(jì)算機(jī)綜合2005 年真題及答案

第一部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)課程

一、形式化下列語(yǔ)句(共 3 分)

1 、(1 分)有且有一個(gè)太陽(yáng)

答：P ∧q，其中，p ：有太陽(yáng)，q ：有一個(gè)太陽(yáng)

2 、(2 分)任意兩個(gè)相異實(shí)數(shù) x,y 之間必可找到另一個(gè)實(shí)數(shù) z.

答：R(x):x 是實(shí)數(shù) E(z,y):x=y L(x,y):x>y

?x?y (R(x) ∧ R( y ) ∧ ?E(x, y )) →

?z((R(z) ∧ L(x , z) ∧ L(z, y )) ∨ (R( z) ∧ L( y , z) ∧ L(z, x)))

二、填空題(共 9 分)

1 、(2 分)設(shè) A=[ 1，2 ，3，4 ，]，則在A 上的二元關(guān)系共有 16 個(gè)；其中有 6 個(gè)是等價(jià)關(guān)系。

n (n+1)

2 、(1 分)設(shè)︱A ︱=n( 即集合A 的基數(shù)為n),則在 A 上有2 2 個(gè)不同的對(duì)稱(chēng)關(guān)系。

4 的展開(kāi)式經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)后有 15 項(xiàng)。

3 、(2 分)(a+b+c )

4 、(2 分)標(biāo)有 1、2 、3、4 的四張數(shù)字卡片，要求數(shù) 1 不排在千位上，數(shù) 2 不排在百位上，數(shù) 3 不排在十

位上，數(shù) 4 不排在個(gè)位上，那么用這四張卡片組成的滿(mǎn)足要求的四位數(shù)共 10 個(gè)。

5、(2 分)以三種不同的顏色來(lái)給某房間的四個(gè)墻壁著色，房間的地面為長(zhǎng)方形(如下圖所示)，每個(gè)墻壁只

著一種顏色，任何相鄰的兩個(gè)墻壁的顏色都不同，共有 18 種著色方案。

e1

e e

2 4

e4

三、問(wèn)答題(6 分)

有 r 個(gè)正方形排成一行，今用紅、黃、白、藍(lán)四種顏色給這個(gè) r 個(gè)正方形染色，每個(gè)正方形只能染一種顏色，

如果要求染紅、黃、白色的正方形分別至少出現(xiàn)一個(gè)，問(wèn)有多少種不同的染法？

答： x 3 x

G( x) (e =? 1) e

a 4r =? 3r ?1 + 3*2r ?1

r

四、證明(共22 分)

第1頁(yè)

1、(3 分)下列等值式是否正確，如正確請(qǐng)證明，如錯(cuò)誤請(qǐng)舉出反例。

(?x)(?y )(P(x) ∧ Q( y )→S(x, y )) = ?(?x)(?y )(P(x) ∧ Q( y ) ∧ ?S(x , y ))

答：等值式不正確，反例略。

2 、(3 分)設(shè) f:R ×R →R ,f( ﹤x,y ﹥)=x+y;g:R ×R→R,g:( ﹤x,y ﹥)=x ×y

證明：(1) f 是滿(mǎn)射，但不是單射。

(2)g 是滿(mǎn)射，但不是單射。

證明：(1)因?yàn)閷?duì)于任意B ∈R ，皆存在 ∈R ×R ，使得 f=x+y=B 成

立，根據(jù)概念，f 是滿(mǎn)射的。

但從 x+y=B 中，并不能確定唯一對(duì)應(yīng)的 ，故 f 不是單射的。

(

2 )因?yàn)閷?duì)于任意B ∈R ，皆存在 ∈R ×R ，使得 f=x ×y=B

成立，根據(jù)概念，f 是滿(mǎn)射的。

但從 x ×y=B 中，并不能確定唯一對(duì)應(yīng)的 ，故 f 不是單射的。

3、(4 分)設(shè) G 是一個(gè)有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn) m 條邊的連通簡(jiǎn)單平面圖，

若 n ≥3

總結(jié)

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