向量空間又稱線性空間，是線性代數的中心內容和基本概念之一。在解析幾何里引入向量概念后，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成了與域相聯系的向量空間概念。譬如，實系數多項式的集合在定義適當的運算后構成向量空間，在代數上處理是方便的。單變元實函數的集合在定義適當的運算后，也構成向量空間，研究此類函數向量空間的數學分支稱為泛函分析。

向量空間它的理論和方法在科學技術的各個領域都有廣泛的應用。[1]

中文名

向量空間

外文名

Vector space

別????稱

線性空間、矢量空間

向量空間詳細定義

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語音

向量空間亦稱線性空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合，P是一個域。若：

1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應于V內惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。[2]

2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。

3.加法與純量乘法滿足以下條件：

1) α+β=β+α，對任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V.

3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元.

4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α.

5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V).

6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域.當P是實數域時，V稱為實線性空間.當P是復數域時，V稱為復線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合，P為實數域R，則V關于向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如，若V為數域P上全體m×n矩陣組成的集合Mmn(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法，則Mmn(P)是數域P上的線性空間.V中向量就是m×n矩陣。再如，域P上所有n元向量(a1，a2，…，an)構成的集合P對于加法：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)與純量乘法：λ(a1，a2，…，an)=(λa1，λa2，…，λan)構成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。

線性空間是在考察了大量的數學對象(如幾何學與物理學中的向量，代數學中的n元向量、矩陣、多項式，分析學中的函數等)的本質屬性后抽象出來的數學概念，近代數學中不少的研究對象，如賦范線性空間、模等都與線性空間有著密切的關系。它的理論與方法已經滲透到自然科學、工程技術的許多領域。哈密頓(Hamilton，W.R.)首先引進向量一詞，并開創了向量理論和向量計算。格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多維歐幾里得空間的系統理論。1844—1847年，他與柯西(Cauchy，A.-L.)分別提出了脫離一切空間直觀的、成為一個純粹數學概念的、抽象的n維空間。特普利茨(Toeplitz，O.)將線性代數的主要定理推廣到任意域上的一般的線性空間中。

向量空間公理化定義

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設F是一個域。一個F上的向量空間是一個集合V的兩個運算：

向量加法: V + V → V, 記作 v + w,V v, w∈V

標量乘法: F × V → V, 記作 a·v, V a∈F, v∈V

符合下列公理 (? a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：

向量加法結合律：u + (v + w) = (u + v) + w；

向量加法交換律：v + w = w + v；

向量加法的單位元：V 里有一個叫做零向量的 0，? v ∈ V , v + 0 = v；

向量加法的逆元素：?v∈V, ?w∈V，使得 v + w = 0；

標量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；

標量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v；

標量乘法一致于標量的域乘法: a(b v) = (ab)v；

標量乘法有單位元: 1 v = v, 這里 1 是指域 F 的乘法單位元。

有些教科書還強調以下兩個公理：

V 閉合在向量加法下：v + w ∈ V

V 閉合在標量乘法下：a v ∈ V

更抽象的說，一個F上的向量空間是一個F-模。V的成員叫作向量，而F的成員叫作標量。若F是實數域R，V稱為實向量空間；若F是復數域C，V稱為復向量空間；若F是有限域，V稱為有限域向量空間；對一般域F，V稱為F-向量空間。[3]

首4個公理是說明向量V在向量加法中是個阿貝爾群，余下的4個公理應用于標量乘法。

以下都是一些很容易從向量空間公理推展出來的特性：

零向量0 ∈ V(公理3)是唯一的

a 0 = 0，? a ∈ F

0 v = 0，? v ∈ V，這里 0 是F的加法單位元

a v = 0 ，則可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0

v的加法逆元(公理4)是唯一的(寫成?v)，這兩個寫法v ? w 及 v + (?w) 都是標準的

(?1)v = ?v，? v ∈ V

(?a)v = a(?v) = ?(av)，? a ∈ F ，? v ∈ V

向量空間線性無關

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如果V是一個線性空間，如果存在不全為零的系數c1, c2, ..., cn∈F，使得c1v1+ c2v2+ ... + cnvn= 0，那么其中有限多個向量v1, v2, ..., vn稱為線性相關的.

反之，稱這組向量為線性無關的。更一般的，如果有無窮多個向量，我們稱這無窮多個向量是線性無關的，如果其中任意有限多個都是線性無關的。

向量空間子空間

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設W為向量空間 V 的一個非空子集，若W在 V 的加法及標量乘法下是封閉的，且零向量0 ∈ W，就稱W為 V 的線性子空間。

給出一個向量集合 B，那么包含它的最小子空間就稱為它的擴張，記作 span(B)。另外可以規定空集的擴張為{0}。

給出一個向量集合 B，若它的擴張就是向量空間 V， 則稱 B 為 V 的生成集合。

給出一個向量集合 B，若B是線性無關的，且B能夠生成V，就稱B為V的一個基。若 V={0}，唯一的基是空集。[4]

對非零向量空間 V，基是 V 最小的生成集，也是極大線性無關組。

如果一個向量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集，那么就稱 V 是一個有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如，實數向量空間：R0, R1, R2, R3, …中， Rn 的維度就是 n。

空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中向量的線性組合。而且，將基中向量進行排列，表示成有序基，每個向量便可以坐標系統來表示。

向量空間線性映射

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若 V 和 W 都是域F上的向量空間，可以設定由V到W的線性變換或“線性映射”。這些由V到W的映射都有共同點，就是它們保持總和及標量商數。這個集合包含所有由V到W的線性映射，以 L(V, W) 來描述，也是一個域F上的向量空間。當 V 及 W 被確定后，線性映射可以用矩陣來表達。

同構是一對一的一張線性映射。如果在V 和W之間存在同構，我們稱這兩個空間為同構；域F上每一n維向量空間都與向量空間F同構。

一個在F場的向量空間加上線性映射就可以構成一個范疇，即阿貝爾范疇。

向量空間額外結構

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研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

一個實數或復數向量空間加上長度概念。就是范數稱為賦范向量空間。

一個實數或復數向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。

一個向量空間加上拓撲學符合運算的(加法及標量乘法是連續映射)稱為拓撲向量空間。

一個向量空間加上雙線性算子(定義為向量乘法)是個域代數。[5]

參考資料

1.

《數學辭海》委員會. 數學辭海.第6卷[M]. 山西教育出版社, 2002.

2.

戴洪峰. 向量空間理論的歷史研究[D].山東大學,2013.

3.

孟道驥．高等代數與解析幾何：科學出版社，2007年

4.

Leslie Hogben．Handbook of Linear Algebra：CRC Press，2006：2--3

5.

李連,朱愛紅,蘇濤. 一種改進的基于向量空間文本相似度算法的研究與實現[J]. 計算機應用與軟件,2012,29(02):282-284. [2017-09-04].

總結

以上是生活随笔為你收集整理的向量空间和计算机科学与技术,向量空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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