2020年10月4日研究了一下牛頓插值法，其用途是使用x、y兩組數值，根據新的x值返回對應的y值，與TREND、FORECAST函數不同，這種方法可應對非線性數據。其作用類似于圖表中的曲線擬合或LINEST多項式擬合。類似這種迭代題，數學書上寫的很深奧，放到excel里就很直觀了。

B、C列是x、y對應值，一階均差D3=(C3-C2)/($B3-$B2)，下拉；

二階均差E4=(D4-D3)/($B4-$B2)，下拉；

三階均差F5=(E5-E4)/($B5-$B2)。其他均差以此類推。每次新增一個已有數值，均要增加一階。

這種方法只是為了便于理解，如果只有少量數據，使用這種方法也可行，如數據點多，每個點都要修改，工作量太大，故應使用D3=IFERROR((C3-C2)/($B3-OFFSET($B$7,-COLUMNS($A3:A$7)-ROWS($A3:A$7)+1,0)),"")，右拉，下拉，返回相同的數據。

A列是總計列，A2=C2，A3填{=OFFSET(D3,0,ROW(B1)-1)*PRODUCT($F$2-$B$2:B2)}，下拉。

F2是新的x值，G2=SUM(A:A)，即A列所有數值相加就是新y值。從結果看，精度相當高，其實萌軟應該寫個函數給大家用，然而并沒有，所以現在只能寫個公式玩，自定義函數肯定也能寫出來，不過也很繞。此處空白太少，我寫不下了。

這個是用LINEST做的多項式擬合，精度沒有牛頓插值法那么高。下面的圖表中的公式是excel自帶的曲線擬合功能生成的公式，最高6次方，擬合的曲線此處與直線重合了，看不清楚。兩者的原理相同，應該都是使用LINEST函數生成，所以系數完全一致。matlab里也有這種功能，如果數據要輸入excel，在excel中直接計算會更加方便。

x=11.5返回436.6132，還算可以接受。

像這種周期性數據就不能完全擬合了，可看到虛線，而且6次方多項式也不夠，7次方多項式才會比較接近，當然圖里只能到6次方多項式。x=11時一切正常。

x=12返回-13，也正常。

然而，在使用一個自定義的x值時，牛頓插值法的表現又令人崩潰。x=11.5時返回-137.973，這和多項式擬合返回的結果截然不同。按說不太應該返回這個值。6.76這個值應該比較正常。不太確定怎么回事，或許牛頓插值法不太適用于這種周期數據？可能是遇到了傳說中的龍格現象，高階導數產生的誤差逐漸擴散傳播后導致最終值極度偏離。

總結

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