2-1 圖的分類

圖是一個用線 或 邊連接在一起的頂點的集合，可以說，圖是有限 頂點V 和 邊E 的有序對。頂點(Vertex)，邊(Edge)

圖a中的邊沒有方向，稱為無向圖。圖b中邊存在方向稱為有向圖。

1.1(a)所示的圖可以表示為 G1(V, E)。其中頂點集合 V(G1) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }，集合

中的元素為頂點(用序號代表，在其他圖中，頂點集合中的元素也可以是其他標識頂點的符號，

如字母 A、B、C 等)；

邊的集合為：E(G1) = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (4, 5) }

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圖 1.1(b)所示的圖可以表示為 G2(V, E)，其中頂點集合 V(G2) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }，集合中的元素也為頂點的序號；

邊的集合為：

E(G2) = { <1, 2>, <2, 3>, <2, 5>, <2, 6>, <3, 5>, <4, 3>, <5, 2>, <5, 4>, <6, 7> }。

在上述邊的集合中，每個元素為一對頂點構成的有序對(用尖括號括起來)，

表示從點 u 到頂點 v 的有向邊(directed Edge)

權值(weight)：某些圖的邊具有與它相關的數，稱為權值。

下列圖示分別表示：無向有權圖，有向有權圖

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上圖a中：所示的無向網可表示為 G1(V, E)，其中頂點集合 V(G1) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }；

邊的集合為：

E(G1) = { (1, 2, 28), (1, 6, 10), (2, 3, 16), (2, 7, 14), (3, 4, 12), (4, 5, 22), (4, 7, 18), (5, 6, 25), (5, 7, 24) }。

在邊的集合中，每個元素的第 3 個分量表示該邊的權值。

所以依據圖的有無方向和權值可以分為4類：

1.無向無權圖

2.有向無權圖

3.無向有權圖

4.有向有權圖

2-2 圖的基本概念

頂點的度(degree)：對于無向圖來說，一個頂點的度就是這個頂點的相鄰的邊的數量。如第一張圖a中點1的度就是 2 。

簡單圖：沒有自環邊，沒有平行邊

子圖：例如，圖 1.8(a)、(b)所示的無向圖都是圖 1.1(a)所示的無向圖 G1的子圖

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聯通圖和非聯通圖：

在無向圖中，若從頂點 u 到 v 有路徑，則稱頂點 u 和 v是連通的(connected)。

如果無向圖中任意一對頂點都是連通的，則稱此圖是連通圖(connected graph)；

相反，如果一個無向圖不是連通圖，則稱為非連通圖(disconnected graph)。

如果一個無向圖不是連通的，則其極大連通子圖稱為連通分量(connected component)

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樹是一種無環圖，任意結點都可以看做是根節點。聯通的無環圖是樹。

生成樹(Spanning Tree)：一個無向連通圖的生成樹是它的包含所有頂點的極小連通子圖，這里所謂的極小就是邊的數目極小。

如果圖中有 n 個頂點，則生成樹有 n-1 條邊。一個無向連通圖可能有多個生成樹。

圖1.1(a) 所示的無向圖 G1的一個生成樹如圖 1.9(a)所示。為了更形象地表示這個生成樹，

在圖 1.9 中，圖(b)把它畫成了以頂點 1 為根結點的樹，圖(c)把它畫成了以頂點 3 為根結點的樹。

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2-3 圖的基本表示：鄰接矩陣

在鄰接矩陣存儲方法中，除了一個記錄各個頂點信息的頂點數組外，還有一個表示各個頂點

之間關系的矩陣，稱為鄰接矩陣(adjacency matrix)。兩頂點相鄰則為1， 不相鄰則為 0

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其中 V = 7 表示頂點的數量， E = 9 表示邊的數量

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練習的是簡單圖，不包含自環邊和平行邊

java代碼實現

import java.io.File;import java.io.IOException;import java.util.ArrayList;import java.util.Scanner;//只是處理簡單的圖public class AdjMatrix {private int V; // 圖的頂點的數量private int E; // 圖的邊的數量private int[][] adj; // 鄰接矩陣public AdjMatrix(String filename) {File file = new File(filename);try {// 讀取文件Scanner scanner = new Scanner(file);V = scanner.nextInt();// 判斷頂點數量是否有誤if (V < 0) throw new IllegalArgumentException("V 必須是個不為負數的數值");adj = new int[V][V]; // 創建二維矩陣E = scanner.nextInt();if (V < 0) throw new IllegalArgumentException("E 必須是個不為負數的數值");for (int i = 0; i< E; i++) {int a = scanner.nextInt();validateVertex(a);int b = scanner.nextInt();validateVertex(b);// 判斷是否是自環邊if (a == b) throw new IllegalArgumentException("不允許存在自環邊");if (adj[a][b] == 1) throw new IllegalArgumentException("不允許存在平行邊");adj[a][b] = 1;adj[b][a] = 1;}} catch (IOException e) {e.printStackTrace();}}private void validateVertex(int v) {if (v < 0 || v > V) {throw new IllegalArgumentException("輸入的數值" + v +"不合法");}}// 獲取指定結點相鄰的結點public ArrayList adj(int v){validateVertex(v);ArrayList res = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < V; i++) { // 頂點的數量if (adj[v][i] == 1) {res.add(i);}}return res;}// 獲取指定結點的度，即相鄰的結點的數量public int degree(int v) {return adj(v).size();}public int V() {return V;}public int E() {return E;}public boolean hasEdge(int x, int y) { // 依據兩個頂點判斷邊是否存在validateVertex(x);validateVertex(y);return adj[x][y] == 1;}public String toString() {StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();stringBuilder.append(String.format("V = %d, E = %d ", V, E)); // 打印出矩陣for (int i =0; i< V; i++) {for (int j = 0; j < V; j++) {stringBuilder.append(String.format("%d ", adj[i][j]));}stringBuilder.append("");}return stringBuilder.toString();}public static void main(String[] args) {AdjMatrix adjMatrix = new AdjMatrix("g.txt");System.out.println(adjMatrix);//V = 7, E = 9 //0 1 0 1 0 0 0 //1 0 1 0 0 0 1 //0 1 0 1 0 1 0 //1 0 1 0 1 0 0 //0 0 0 1 0 1 0 //0 0 1 0 1 0 1 //0 1 0 0 0 1 0 System.out.println(adjMatrix.adj(2).toString());System.out.println(adjMatrix.degree(2));}}

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的一个aov网用邻接矩阵表示_一起看看啥是图论算法-第一期：图的基本表示的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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