线性求逆元模板_ACM 数论基本模板
ACM 數論基本模板
1.歐幾里得
求最大公約數,最小公倍數
(1)遞歸的寫法:int
gcd(int a,int b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
(2)輾轉相除法:
int gcd(int
a,int b)
{
if(a
int
r;
while(b)
{r=a%b;a=b;b=r;}
return
a;
}
(3)stein+歐幾里得
快速求解大數的最大公約數
i64 stein(i64
a,i64 b)
{
if(a
if(b==0)
return a;
if((a&1)==0&&(b&1)==0)
return
2*stein(a>>1,b>>1);//a
and b are even
if((a&1)==0)
return?stein(a>>1,b);?// only a is?even
if((b&1)==0)
return?stein(a,b>>1);?// only b is?even
return?stein((a+b)>>1,(a-b)>>1);?// a and b are odd
}
最小公倍數: int
lcm(int a,int b) {return a/gcd(a,b)*b;}
2.擴展歐幾里得 求ax=b
(mod m) ax+my=b
如果r=gcd(a,m)且b%r==0,則同余方程有解,其最小解為x*(b/r);
ax+by=c
如r=gcd(a,b),則存在x,y,使xa+yb=r;當x+=b,y-=a后仍然成立
因為xa+yb+ab-ab=r;==>(x+b)a+(y-a)b=r
int exgcd(int
a,int b,int &x,int
&y)
{
if(b==0)
{x=1;y=0;return a;}
int
r=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return
r;
}
3.素數判定
(1)試除法:
bool?isprime(int n)
{
int
i;
for(i=2;i<=(int)sqrt(n*1.0);i++)
if(n%i==0) ?return?false;
return?true;
}
bool isprime(int
n)
{
if(n==2)
return true;
if(n==1||(n&1)==0)
return false;
for(int
i=3;i*i<=n;i+=2)if(n%i==0) return fals;
return
true;
}(2)miller-rabin
算法
bool
witness(i64 a,i64 n)
{
i64
x,d=1,i=ceil(log(n-1.0)/log(2.0))-1;
for(;i>=0;i--)
{
x=d; d=(d*d)%n;
if(d==1&&x!=1&&x!=n-1)
return 1;
if(((n-1)&(1<0)
d=(d*a)%n;
}
return?d==1?0:1;
}
bool
miller_rabin(i64 n)
{
if(n==2)?return
1;
if(n==1||(n&1)==0) return 0;
i64
j,a;
for(j=0;j<50;j++)
{
a=rand()*(n-2)/RAND_MAX+1;
if(witness(a,n)) return 0;
}
return
1;
}
另一種寫法，更好理解
bool witness(i64 a,i64
n)
{
int
i,j=0;
i64
m=n-1,x,y;
while(m%2==0)
{
m>>=1;
j++;
}
x=pow(a,m,n);///快速冪取模
for(i=1;i<=j;i++)
{
y=pow(x,2,n);
if(y==1&&x!=1&&x!=n-1)
return true;
x=y;
}
return
y==1?false:true;
}
bool miller_rabin(i64
n)
{
if(n==2)
return true;
if(n==1||n%2==0)
return false;
for(int
i=1;i<=10;i++)
{
i64
a=rand()%(n-1)+1;
if(witness(a,n)) return false;
}
return
true;
}
4.素數篩法?//前17個素數
prime[18]={17,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59}
bool
f[100002];//保存判斷是否是素數的結果，p[i]=1 是素數，p[i]=0 則不是素數
int
prime[78499];//保存素數prime[0]為素數的個數
void PRIME(int
M)
{
int
i,i2,k;
for(i=0;i<=M;i+=2)
f[i]=0;
for(i=1;i<=M;i+=2)
f[i]=1;
f[1]=0;?f[2]=1;
for(i=3;i<=(int)sqrt(1.0*M);i+=2)
if(p[i])
{
i2=i+i;?k=i*i;
while(k<=M) {f[k]=0; k+=i2;}
}
prime[1]=2;
k=1;
for(i=3;i<=M;i+2)
if(f[i]) prime[++k]=i;
prime[0]=k;
}
(2)
void PRIME(int
M)
{
int
i,j,k;
prime[1]=2;
prime[2]=3;
for(i=5;i<=M;i+=2)
{
for(j=1;prime[j]*prime[j]<=i;j++)
if(i%prime[j]==0) goto loop;
prime[++k]=i;
loop:;
}
prime[0]=k;
}
5.整數分解
(1)
void split(int
n,int *p,int *t)
{
int
i,s,top=0;
for(i=1;i<=prime[0];i++)
{
s=0;
while(n%prime[i]==0)?{s++;n/=prime[i];}
if(s)?{p[++top]=prime[i];t[top]=s;}
if(n==1)
break;
if(n
{p[++top]=n;t[top]=1;n=1;break;}
}
p[0]=t[0]=top;
}
(2)分解1-100000的因子,且由prime[n][]保存n的素因子(prime[n][0]為質因子的個數):
void split(int
n)//p[]為素數表
{
int
i,x=n;
prime[n][0]=0;
for(i=1;i<=p[0];i++)if(x%p[i]==0)嚴重坑爹的bug
{
prime[n][++prime[n][0]]=p[i];
while(x%p[i]==0) x/=p[i];
if(x==1)
break;
}
if(x>1)
prime[n][++prime[n][0]]=x;
}
(3)Pollard-pho大數分解
i64 Pollard(i64 n,int
c)
{
i64
i=1,k=2,x=rand()%n,y=x,d;
srand(time(NULL));
while(true)
{
i++;
x=(mod_mult(x,x,n)+c)%n;
d=gcd(y-x,n);
if(d>1&&d
return d;
if(y==x)
return n;
if(i==k){y=x;k<<=1;}
}
}
6.求因子和與因子個數(包含1和本身)
因子和s是積性函數,即:gcd(a,b)=1==>s(a*b)=s(a)*s(b);
如果p是素數==>s(p^X)=1+p+p^2+...+p^X=(p^(X+1)-1)/(p-1);s(p^2x)=1+p+p^2+...+p^2x=(p^(2x+1)-1)/(p-1);
求因子和:
(1)ans=1+n;
for(i=2;i<=n/2;i++)
if(n%i==0)
{
if(n/i>i)
ans+=i+n/i;
else?if(n/i==i) ans+=i;
else?break;
}
(2)另一種遞推的寫法:
for(i=1;i<=lmax;i++)?num[i]=1+i;
for(i=2;i<=lmax/2;i++)
for(j=i<<1;j<=lmax;j+=i)?num[j]+=i;
求因子個數:
n=p1^t1*p2^t2*p3^t3***pk^tk;
因子個數為:(t1+1)(t2+1)***(tk+1)
for(ret=i=1;i<=prime[0]&&prime[i]<=(int)sqrt(1.0*n);i++)
if(n%prime[i]==0)
{
k=0;
while(n%prime[i]==0)
{k++,n/=prime[i];}
ret*=k+1;
}
if(n>1)
ret*=2;
當求n^2的因子個數的時候:n^2=p1^(2*t1)*p2^(2*t2)***pk^(2*tk);?因子個數為:(2*t1+1)(2*t2+1)***(2*tk+1)
for(ret=i=1;i<=prime[0]&&prime[i]<=(int)sqrt(1.0*n);i++)
if(n%prime[i]==0)
{
k=0;
while(n%prime[i]==0)
{k++,n/=prime[i];}
ret*=2*k+1;
}
if(n>1)
ret*=3;
快速求出一個比較大的區間內的所有因子和:
const int
lmax=50005;//求出[1,50005]區間內每一個數的因子和(不包括本身),并用facsum[]數組保存
i64?facsum[lmax];
for(i=0;i<=lmax;i++)?facsum[i]=1;
for(i=2;i*i<=lmax;i++)
{
for(j=i+1;j*i<=lmax;j++)?facsum[i*j]+=i+j;
facsum[i*i]+=i;
}
7.歐拉函數
(1)單獨求歐拉函數
int eular(int
n)
{
int
ret=1,i;
for(i=2;i*i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
n/=i;?ret*=i-1;
while(n%i==0) {n/=i;ret*=i;}
}
if(n>1)
ret*=n-1;
return?ret;
}
int euler(int x)
{
int i,
res=x,tmp=(int)sqrt(x*1.0)+1;
for(i=2;i
if(x%i==0)
{
res=res/i*(i-1);
while(x%i==
0) x/=i;
}
if(x>1)
res=res/x*(x-1);
return
res;
}
int eular(int
n)
{
int
ret=n,i;
for(i=2;i*i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
ret=ret/i*(i-1);
while(n%i==0) n/=i;
}
if(n>1)
ret=ret/n*(n-1);
return
ret;
}
先素數篩法在用歐拉函數(在此僅寫其中的一個)
void eular(int
n)
{
int
ret=n,i;
for(i=1;i<=prime[0]&&prime[i]<=(int)sqrt(1.0*n);i++)
if(n%prime[i]==0)
{
ret=ret/prime[i]*(prime[i]-1);
while(n%prime[i]==0) n/=prime[i];
}
if(n>1)
ret=ret/n*(n-1);
return
ret;
}
(2)遞推求歐拉函數
const
int?lmax=300000;
int PHI(int
lmax)
{
int
i,j;
for(i=1;i<=lmax;i++)phi[i]=i&1?i:i/2;
for(i=3;i<=lmax;i+=2)
if(phi[i])
for(j=i;j<=lmax;j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
(3)同時求出歐拉值和素數
int
prime[lmax][25],num[lmax],eular[lmax];//prime[n][i]表示n的第i+1個素數因子,num[n]表示n的因子個數,eular[n]表示n的歐拉值
///下面這個貌似不對
void
eular_prime()
{
int
i,j;
for(i=1;i<=lmax;i++)
eular[i]=i,prime[i][0]=0;
for(i=2;i<=lmax;i++)
if(eular[i]==i)
{
eular[i]=i-1;
for(j=i<<1;j<=lmax;j+=i)
{
eular[j]=eular[j]/i*(i-1);
prime[j][++prime[j][0]]=i;//prime[j][0]=num[j]表示j的素數因子個數
}
}
}
/上面這個貌似不對
void
eular_prime()//每個數的歐拉函數值及篩選法得到數的素因子num[i]為i的因子個數
{
eular[1]=1;
for(int
i=2;i
{
if(eular[i]==0)
for(int
j=i;j
{
if(eular[j]==0)?eular[j]=j;
eular[j]=eular[j]*(i-1)/i;
prime[j][num[j]++]=i;
}
//eular[i]+=eular[i-1];//進行累加(法里數列長度)
}
}
void
eular_prime()
{
int
i,j;
eular[1]=1;
for(i=2;i<=lmax;i++)
if(eular[i]==0)
for(j=i;j<=lmax;j+=i)
{
if(eular[j]==0) eular[j]=j;
eular[j]=eular[j]/i*(i-1);
prime[j][++prime[j][0]]=i;
}
}
歐拉定理的一個重要應用:A^x
mod m=A^(x%phi(m)+phi(m)) mod m?(當x>=phi(m)時)
8.求逆元ax=1 (mod
m) x是a的逆元
(1)用擴展歐幾里得求
int Inv(int
a,int m)
{
int
r,x,y;
r=exgcd(a,m,x,y);
if(r==1)
return (x%m+m)%m;
return
-1;
}
(2)用快速冪取模求a*a^(p-2)=a^(p-1)=1
(mod p) p必須為素數,a的逆元是a^(p-2);
int pow(int
a,int n)//a^n%p (n=p-2)
{//這里的做法會讓a的值變化,可令t=a;用t代替a計算
int
r=1;
while(n)
{
if(n&1) r=r*a%p;
a=a*a%p;
n>>=1;
}
return
r;
}
9.快速模乘
a*b%p
int mul(int
a,int b)
{
int
r=0;
while(b)
{
if(b&1) r=(r+a)%p;
a=(a<<1)%p;
b>>=1;
}
return
r;
}
10.求解模線性方程組(中國剩余定理)x=a1 mod
m1
x=a2 mod
m2
......
x=an?mod mn其中,a[],m[]已知,m[i]>0且m[i]與m[j]互質,求x.
設m1,m2,...,mn是兩兩互素的正數,則對任意的整數a1,a2,...,an,同余方程組其解為:X=((M_1*M1*a1)+(M_2*M2*a2)+...+(M_n*Mn*an))
mod m;
其中m=m1*m2*...*mn;?Mi=m/mi; M_i是Mi的逆元
int china(int *a,int *m,int n)
{
int M=1,ans=0,mi,i,x,y;
for(i=0;i
M*=m[i];
for(i=0;i
{
mi=M/m[i];
exgcd(m[i],mi,x,y);
ans=(ans+mi*y*a[i])%M;
}
return (ans%M+M)%M;
}
總結
以上是生活随笔為你收集整理的线性求逆元模板_ACM 数论基本模板的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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