轉自：chenbjin

https://www.cnblogs.com/chenbjin/p/4200790.html

主成分分析(PCA)是一種基于變量協方差矩陣對數據進行壓縮降維、去噪的有效方法，PCA的思想是將n維特征映射到k維上(k<>

1、協方差?Covariance

變量X和變量Y的協方差公式如下，協方差是描述不同變量之間的相關關系，協方差>0時說明 X和 Y是正相關關系，協方差<0時 x和y是負相關關系，協方差為0時="">0時>

協方差的計算是針對兩維的，對于n維的數據集，可以計算C(n,2)種協方差。?n維數據的協方差矩陣的定義如下：

Dim(x)表示第x維。

對于三維(x,y,z)，其協方差矩陣如下，可看出協方差矩陣是一個對稱矩陣(symmetrical)，其對角線元素為每一維的方差：

2、特征向量和特征值

可以這樣理解：矩陣A作用在它的特征向量X上，僅僅使得X的長度發生了變化，縮放比例就是相應的特征值。

特征向量只能在方陣中找到，而且并不是所有的方陣都有特征向量，并且如果一個n*n的方陣有特征向量，那么就有n個特征向量。一個矩陣的所有特征向量是正交的，即特征向量之間的點積為0，一般情況下，會將特征向量歸一化，即向量長度為1。

3、PCA過程

第一步，獲取數據，下圖中的Data為原始數據，一共有兩個維度，可看出二維平面上的點。

下圖是Data在二維坐標平面上的散點圖：

第二步，減去平均值，對于Data中的每一維數據分別求平均值，并減去平均值，得到DataAdjust數據。

第三步，計算DataAdjust的協方差矩陣

第四步，計算協方差矩陣的特征向量和特征值，選取特征向量

特征值0.490833989對應的特征向量是(-0.735178656, 0.677873399)，這里的特征向量是正交的、歸一化的，即長度為1。

下圖展示DataAdjust數據和特征向量的關系：

正號表示預處理后的樣本點，斜著的兩條線就分別是正交的特征向量(由于協方差矩陣是對稱的，因此其特征向量正交)，特征值較大的那個特征向量是這個數據集的主要成分(principle component)。

通常來說，當從協方差矩陣計算出特征向量之后，下一步就是通過特征值，對特征向量進行從大到小的排序，這將給出成分意義的順序。成分的特征值越小，其包含的信息量也就越少，因此可以適當選擇。

如果數據中有n維，計算出n個特征向量和特征值，選擇前k個特征向量，然后最終的數據集合只有k維，取的特征向量命名為FeatureVector。

這里特征值只有兩個，我們選擇其中最大的那個，1.28402771，對應的特征向量是

。

第五步，將樣本點投影到選取的特征向量上，得到新的數據集

假設樣例數為m，特征數為n，減去均值后的樣本矩陣為DataAdjust(m*n)，協方差矩陣是n*n，選取的k個特征向量組成的矩陣為EigenVectors(n*k)。那么投影后的數據FinalData為

這里是FinalData(10*1) = DataAdjust(10*2矩陣)×特征向量

得到結果為

下圖是FinalData根據最大特征值對應的特征向量轉化回去后的數據集形式，可看出是將DataAdjust樣本點分別往特征向量對應的軸上做投影：

如果取的k=2，那么結果是

可見，若使用了所有特征向量得到的新的數據集，轉化回去之后，與原來的數據集完全一樣(只是坐標軸旋轉)。

覺得本文有幫助？請分享給更多人

關注「算法愛好者」，修煉編程內功

總結

以上是生活随笔為你收集整理的pca降维的基本思想_一文读懂 PCA 降维算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。