本來吧，覺得張量這個東西稍微混一混假裝知道個大概就行了。昨天拿到角動量那一章的講義以后我發現事情并沒有那么簡單……總而言之，欠下的東西早晚要還的……碎碎念到此結束，進入正題。張量專題初步計劃是分三個板塊，也許是五個板塊？這坑不小，慢慢填吧。

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張量的概念

簡單地說，張量是一個多重線性映射：

給定一個域 及 上的向量空間 ， 是 的共軛空間^[1]， ， 是 重空間 和 重空間 的笛卡爾積，所有的 重線性映射
稱為 上的 型， 價（或秩）的張量。同樣，也說 是一個 次共變且 次反變的混合張量。當 時，說 是反變的；當 是，說 是共變的。

特別地，

型張量就是通常的 上的線性函數，也就是 中的一個元素；而 型張量就是 上的一個線性映射，即 上的元素。由于有限維空間的自反性，在 和 之間存在一個自然同構，使得 與某個向量 等同起來。這個等同可以在線性函數的記法

下實現。當

固定時，這是 上的一個線性映射；當 固定時，它就是 上的一個線性映射。換言之， 型張量可以認為是一個向量，即 中的元素。

對一個最簡單的混合張量——

型張量是很有分析的必要的。按定義， 是一個對 和 都有線性的映射。對任何固定的 ，映射對 是線性的，所以能夠找到 ，使得

不難證明

是 上的線性算子。反過來， ，依照 建立映射 ，它對 和 都是線性的。因此， 是一個雙射。所以每個 型張量都唯一對應 上的一個線性算子。

還要約定

型張量是一個純量，即 上的元素。

上所有 型張量的集合 構成一個向量空間。事實上，如果 且 ，那么自然可以將 理解為一個張量，它由公式

定義。

張量的乘積

首先，設

是任意的多線性型。這意味著

是相互之間沒有任何關系的向量空間。把 和 的張量積理解為映射
它由公式
定義。這里要注意，變量 和變量 是沒有關系的。

比如

上的線性算子 和 ， 。顯然，張量積沒有交換性：

但是（不難驗證）它具有結合性：

現在設

是 型張量， 是 型張量，那么 就是在笛卡爾積

上的多線性映射。把這個笛卡爾積與

等同起來。對所有的

，定義

上述定義的

作為張量 和張量 的（張量）乘積。后面（依照慣例）省略用來區別不同變量類型的分號，需注意。

不難驗證張量積具有分配性：

張量的坐標

從上一節對張量以及張量乘積的定義中我們應當意識到區分

和 中元素的必要性。按照經典的觀念，張量分析開始于在 中選擇基底，并用自己的坐標去刻畫張量。通常，在 和 中選擇相互對偶的基底

這種上下指標的表示是自然的，同時需要（在明確的前提下）注意上指標和指數的區別，在張量分析里這個混淆不太可能出現。

設

注意到

為了引入對稱性，（通常）使用啞指標這個概念。所以一些經常接觸張量的人會默認逐次求和從而忽略求和號（愛因斯坦約定）。在這里我們不贊成這個約定，不過可以約定不同指標的求和可以用一個求和號來寫

求和上下限通常可以經過上下文確定。

設給定一個

型張量 ，它的值可以表達成

稱數 是張量 在基 下的坐標（系數，分量）。

讓我們賦予上述定義慣用的思想，在

型張量的空間 本身中選擇一個適當的基，即考察一個可分解的 型張量（不難證明，對不同的配套指標 ，這種分解得到的張量是線性無關的）

并且，將

與 上的線性映射 等同起來，因為 ，所以

構成張量

所以

這恰好是張量

的坐標，但是注意到張量的坐標是唯一的，這是因為根據它的多重線性，對任意向量

以及線性映射

所以

如果張量

和張量 的坐標重合，那么張量本身就應該重合，即

特別的，每個雙線性型都應該形如

總而言之，上述命題可以總結為

上的 型張量構成一個 維的向量空間 ，它以
構成一個基，其中 是空間 的一個基， 是 的基（空間 的對偶基）。
存在且唯一地存在一個張量，它具有預先給定地坐標 。

不同坐標系中的張量

類似于線性算子在不同基下的表示，張量在不同的基下也有坐標。這一節我們來看張量在向新的基轉化時坐標的變化。設

是空間 的另外一個基，且有對偶基 。 是 向 的過度矩陣，其中上指標是行數，下指標是列數，按照規則

規定。同時有

向 的過度矩陣

同時引入一個輔助矩陣

那么

因此，

由于

，因此由 向 的過度矩陣就是 ，稱為 的轉置逆矩陣。

現在來求張量

在基 下的坐標 ：

現在，我們可以對張量的定義換一種說法。所謂

上的 型張量 ，是與空間的每一個基底聯系在一起的一組 個純量 ，使得在不同基底下對應的數組按照上述坐標變換公式聯系起來。

空間的張量積

這一塊內容在高等代數和物理上都有非常深刻的應用，比如群的表示理論和角動量的耦合理論。更一般的形式在高等代數中再引入（日常挖坑），這里只構造向量空間的張量積。

設 是域 上的向量空間，那么存在 上的一個向量空間 和一個雙線性映射 ，滿足 如果 是線性無關的，且 ，那么 如果 是線性無關的，且 ，那么 是滿射，即
此外，對于 在如下意義下是具有泛性的：如果任意一個向量空間 和任意一個雙線性映射 作成對 ，那么存在唯一的線性映射 使得 ，有

這個定理的證明就不寫（chao）了，我們主要是理清數學脈絡（方便學習量子力學啊喂），具體細節都是書上有的，感興趣可以自己翻閱（這個理由還可以吧？）。

稱給定的空間 唯一確定的（精確到同構）對 是這兩個向量空間的張量乘積。

記

，簡記為 。如下條件（不難發現）是滿足的

同時，雙射

， ， 建立起向量空間之間的同構

上述同構稱為自然同構（標準同構）。同時，分配律也是滿足的

為了直觀地研究結構，將向量空間的線性算子聯系在一起是自然的

設 ，稱線性算子 是算子 的張量積，按照規則 起作用。

不難驗證這些性質是滿足的

設

那么在基

下，算子 的矩陣是 維的

記

那么

寫成矩陣的形式

，

對于跡，

對于行列式，

這兩個公式在后面群的表示論中會經常使用。

參考

^共軛（對偶）空間的概念見?https://zhuanlan.zhihu.com/p/194167945

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵低秩张量分解_【线性代数】张量-张量的计算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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