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第五次作業(前三題寫在作業紙上)

一、用有限差分方法求解一維非定常熱傳導方程，初始條件和邊界條件見說明.pdf文件，熱擴散系數α=const，

用Tylaor展開法推導出FTCS格式的差分方程

討論該方程的相容性和穩定性，并說明穩定性要求對求解差分方程的影響。

說明該方程的類型和定解條件，如何在程序中實現這些定解條件。

編寫M文件求解上述方程，并用適當的文字對程序做出說明。(部分由網絡搜索得到，添加，修改后得到。)

function rechuandaopde

%以下所用數據，除了t的范圍我根據題目要求取到了20000，其余均從pdf中得來

a=0.00001;%a的取值

xspan=[0 1];%x的取值范圍

tspan=[0 20000];%t的取值范圍

ngrid=[100 10];%分割的份數，前面的是t軸的，后面的是x軸的

f=@(x)0;%初值

g1=@(t)100;%邊界條件一

g2=@(t)100;%邊界條件二

[T,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%計算所調用的函數

[x,t]=meshgrid(x,t);

mesh(x,t,T);%畫圖，并且把坐標軸名稱改為x，t，T

xlabel('x')

ylabel('t')

zlabel('T')

T%輸出溫度矩陣

dt=tspan(2)/ngrid(1);%t步長

h3000=3000/dt;

h9000=9000/dt;

h15000=15000/dt;%3000,9000,15000下，溫度分別在T矩陣的哪些行

T3000=T(h3000,:)

T9000=T(h9000,:)

T15000=T(h15000,:)%輸出三個時間下的溫度分布

%不再對三個時間下的溫度-長度曲線畫圖，其圖像就是三維圖的截面

%穩定性討論,傅里葉級數法

dx=xspan(2)/ngrid(2);%x步長

sta=4*a*dt/(dx^2)*(sin(pi/2))^2;

if sta>0,sta<2

fprintf('\n%s\n','有穩定性')

else

fprintf('\n%s\n','沒有穩定性')

error

end

%真實值計算

[xe,te,Te]=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);

[xe,te]=meshgrid(xe,te);

mesh(xe,te,Te);%畫圖，并且把坐標軸名稱改為xe，te，Te

xlabel('xe')

ylabel('te')

zlabel('Te')

Te%輸出溫度矩陣

%誤差計算

jmax=1/dx+1;%網格點數

[rms]=wuchajisuan(T,Te,jmax)

rms%輸出誤差

function [rms]=wuchajisuan(T,Te,jmax)

for j=1:jmax

rms=((T(j)-Te(j))^2/jmax)^(1/2)

end

function[Ue,xe,te]=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid)

n=ngrid(1);%t份數

m=ngrid(2);%x份數

Ue=zeros(ngrid);

xe=linspace(xspan(1),xspan(2),m);%畫網格

te=linspace(tspan(1),tspan(2),n);%畫網格

for j=2:n

for i=2:m-1

for g=1:m-1

Ue(j,i)=100-(400/(2*g-1)/pi)*sin((2*g-1)*pi*xe(j))*exp(-a*(2*g-1)^2*pi^2*te(i))

end

end

end

function [U,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid)

n=ngrid(1);%t份數

m=ngrid(2);%x份數

h=range(xspan)/(m-1);%x網格長度

x=linspace(xspan(1),xspan(2),m);%畫網格

k=range(tspan)/(n-1); %t網格長度

t=linspace(tspan(1),tspan(2),n);%畫網格

U=zeros(ngrid);

U(:,1)=g1(t);%邊界條件

U(:,m)=g2(t);

U(1,:)=f(x);%初值條件

%差分計算

for j=2:n

for i=2:m-1

U(j,i)=(1-2*a*k/h^2)*U(j-1,i)+a*k/h^2*U(j-1,i

總結

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