DFT，DTFT，DFS，FFT之間的關(guān)系

很多同學(xué)學(xué)習(xí)了數(shù)字信號處理之后，被里面的幾個名詞搞的暈頭轉(zhuǎn)向，比如DFT，DTFT，DFS，FFT，FT,FS等，FT和FS屬于信號與系統(tǒng)課程的內(nèi)容，是對連續(xù)時間信號的處理，這里就不過多討論，只解釋一下前四者的關(guān)系。

首先說明一下，這里只站在學(xué)生的角度以最淺顯易懂的性質(zhì)來解釋問題，而不涉及到任何公式運算。

學(xué)過卷積，我們都知道有時域卷積定理和頻域卷積定理，在這里只需要記住兩點：1.在一個域的相乘等于另一個域的卷積；2.與脈沖函數(shù)的卷積，在每個脈沖的位置上將產(chǎn)生一個波形的鏡像。(在任何一本信號與系統(tǒng)課本里，此兩條性質(zhì)有詳細公式證明)

下面，就用這兩條性質(zhì)來說明DFT，DTFT，DFS，FFT之間的聯(lián)系：

先看圖片：

首先來說圖（1）和圖（2），對于一個模擬信號，如圖(1)所示，要分析它的頻率成分，必須變換到頻域，這是通過傅立葉變換即FT(Fourier Transform)得到的，于是有了模擬信號的頻譜，如圖(2)；注意1：時域和頻域都是連續(xù)的！

但是，計算機只能處理數(shù)字信號，首先需要將原模擬信號在時域離散化，即在時域?qū)ζ溥M行采樣，采樣脈沖序列如圖(3)所示，該采樣序列的頻譜如圖(4)，可見它的頻譜也是一系列的脈沖。所謂時域采樣，就是在時域?qū)π盘栠M行相乘，(1)×(3)后可以得到離散時間信號x[n]，如圖(5)所示；由前面的性質(zhì)1，時域的相乘相當(dāng)于頻域的卷積，那么，圖(2)與圖(4)進行卷積，根據(jù)前面的性質(zhì)2知，會在各個脈沖點處出現(xiàn)鏡像，于是得到圖(6)，它就是圖(5)所示離散時間信號x[n]的DTFT(Discrete time Fourier Transform)，即離散時間傅立葉變換，這里強調(diào)的是“離散時間”四個字。注意2：此時時域是離散的，而頻域依然是連續(xù)的。

經(jīng)過上面兩個步驟，我們得到的信號依然不能被計算機處理，因為頻域既連續(xù)，又周期。我們自然就想到，既然時域可以采樣，為什么頻域不能采樣呢？這樣不就時域與頻域都離散化了嗎？沒錯，接下來對頻域在進行采樣，頻域采樣信號的頻譜如圖(8)所示，它的時域波形如圖(7)。現(xiàn)在我們進行頻域采樣，即頻域相乘，圖(6)×圖(8)得到圖(10)，那么根據(jù)性質(zhì)1，這次是頻域相乘，時域卷積了吧，圖(5)和圖(7)卷積得到圖(9)，不出所料的，鏡像會呈周期性出現(xiàn)在各個脈沖點處。我們?nèi)D（10）周期序列的主值區(qū)間，并記為X(k)，它就是序列x[n]的DFT(Discrete Fourier Transform)，即離散傅立葉變換。可見，DFT只是為了計算機處理方便，在頻率域?qū)TFT進行的采樣并截取主值而已。有人可能疑惑，對圖(10)進行IDFT，回到時域即圖(9)，它與原離散信號圖(5)所示的x[n]不同呀，它是x[n]的周期性延拓！沒錯，因此你去查找一個IDFT的定義式，是不是對n的取值區(qū)間進行限制了呢？這一限制的含義就是，取該周期延拓序列的主值區(qū)間，即可還原x[n]！

FFT呢？FFT的提出完全是為了快速計算DFT而已，它的本質(zhì)就是DFT！我們常用的信號處理軟件MATLAB或者DSP軟件包中，包含的算法都是FFT而非DFT。

DFS,是針對時域周期信號提出的，如果對圖(9）所示周期延拓信號進行DFS，就會得到圖(10)，只要截取其主值區(qū)間，則與DFT是完全的一一對應(yīng)的精確關(guān)系。這點對照DFS和DFT的定義式也可以輕易的看出。因此DFS與DFT的本質(zhì)是一樣的，只不過描述的方法不同而已。

不知道經(jīng)過上面的解釋，您是否明白各種T的關(guān)系了呢？如果您不是算法設(shè)計者，其實只要懂得如何使用FFT分析頻譜即可，博主近期會更新一篇文章，專門介紹如何利用FFT分析簡單信號的頻譜。

其實個人認為，糾結(jié)了這么多，就是為了打破現(xiàn)實模擬世界與計算機數(shù)字世界的界限呀！

序列補零和插值對頻域的影響

連續(xù)時間信號經(jīng)采樣、截斷后的序列為Xn(n)，其頻譜函數(shù)XN(ejw)，并不隨序列末端補零而改變，信號的頻率分辨率為Fs/N.序列末端補零只能提高信號頻譜顯示的分辨率。換句話說，如果連續(xù)時間信號在離散化或時域加窗截斷過程中，由于頻譜泄漏或混疊等原因已造成信號頻譜中信息的失真，則無論怎么補零做DFT，都無法再恢復(fù)已損失的信息。
　　提高信號的頻率分辨率只有提高信號的采樣頻率或增加序列的截斷長度N(信號的持續(xù)時間加長)。
1）數(shù)據(jù)后面補零-------不能提高信號的頻率分辨率
　　序列末端補零后，盡管信號的頻譜不會變化，但對序列做補零后L點DFT后，計算出的頻譜實際上是原信號頻譜在[0,2*pi)區(qū)間上L個等間隔采樣，從而增加了對真實頻譜采樣的點數(shù)，并改變了采樣點的位置，這將會顯示出原信號頻譜的更多的細節(jié)。故而數(shù)據(jù)后面補零可以克服柵欄效應(yīng)。
2）數(shù)據(jù)間隔補零-------不能提高信號的頻率分辨率
3）數(shù)據(jù)插值
相當(dāng)于提高了信號的采樣率，可以提高信號的頻率分辨率

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的DFT，DTFT，DFS，FFT之间的关系以及序列补零和插值对频域的影响的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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