酉矩陣

標簽： matrix 2012-09-06 10:35 1083人閱讀 評論(0) 收藏 舉報 本文章已收錄于： 分類： 數(shù)學之美（3） 作者同類文章X

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若一n行n列的復數(shù)矩陣U滿足

其中為n階單位矩陣，為U的共軛轉(zhuǎn)置，為酉矩陣(英文: Unitary Matrix, Unitary 是歸一或單位的意思)。即，矩陣U為酉矩陣，當且僅當其共軛轉(zhuǎn)置為其逆矩陣:

。

若酉矩陣的元素都是實數(shù)，其即為正交矩陣。與正交矩陣G不會改變兩個實矢量的內(nèi)積類似，

酉矩陣U不改變兩個復矢量的內(nèi)積：

若為n階方陣，則下列條件等價：

是酉矩陣

是酉矩陣

的列矢量構(gòu)成內(nèi)積空間Cⁿ上的一組正交基

的行矢量構(gòu)成內(nèi)積空間Cⁿ上的一組正交基

酉矩陣的特征值都是模為1的復數(shù)，即分布在復平面的單位圓上，因此酉矩陣行列式的值也為1。

酉矩陣是正規(guī)矩陣，由譜定理知，酉矩陣U可被分解為

其中V是酉矩陣，是主對角線上元素絕對值為1的對角陣。

對任意n，所有n階酉矩陣的集合關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成一個群。

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總結(jié)

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