CRC校验详解
循環冗余校驗碼（CRC）的基本原理是：在K位信息；編輯本段；幾個基本概念；1、多項式與二進制數碼；多項式和二進制數有直接對應關系：x的最高冪次對應；多項式包括生成多項式G(x)和信息多項式C(x)；如生成多項式為G(x)=x^4+x^3+x+1，；2、生成多項式；是接受方和發送方的一個約定，也就是一個二進制數，；在發送方，利用生成多項式對信息多項式做模2除生
循環冗余校驗碼（CRC）的基本原理是：在K位信息碼后再拼接R位的校驗碼，整個編碼長度為N位，因此，這種編碼又叫（N，K）碼。對于一個給定的（N，K）碼，可以證明存在一個最高次冪為N-K=R的多項式G(x)。根據G(x)可以生成K位信息的校驗碼，而G(x)叫做這個CRC碼的生成多項式。校驗碼的具體生成過程為：假設發送信息用信息多項式C(X)表示，將C(x)左移R位，則可表示成C(x)*2的R次方，這樣C(x)的右邊就會空出R位，這就是校驗碼的位置。通過C(x)*2的R次方除以生成多項式G(x)得到的余數就是校驗碼。
編輯本段
幾個基本概念
1、多項式與二進制數碼
多項式和二進制數有直接對應關系：x的最高冪次對應二進制數的最高位，以下各位對應多項式的各冪次，有此冪次項對應1，無此冪次項對應0。可以看出：x的最高冪次為R，轉換成對應的二進制數有R+1位。
多項式包括生成多項式G(x)和信息多項式C(x)。
如生成多項式為G(x)=x^4+x^3+x+1，可轉換為二進制數碼11011。 而發送信息位 1111，可轉換為數據多項式為C(x)=x^3+x^2+x+1。
2、生成多項式
是接受方和發送方的一個約定，也就是一個二進制數，在整個傳輸過程中，這個數始終保持不變。
在發送方，利用生成多項式對信息多項式做模2除生成校驗碼。在接受方利用生成多項式對收到的編碼多項式做模2除檢測和確定錯誤位置。 應滿足以下條件：
a、生成多項式的最高位和最低位必須為1。
b、當被傳送信息（CRC碼）任何一位發生錯誤時，被生成多項式做除后應該使余數不為0。
c、不同位發生錯誤時，應該使余數不同。
d、對余數繼續做除，應使余數循環。
3 CRC碼的生成步驟
1、將x的最高次冪為R的生成多項式G(x)轉換成對應的R+1位二進制數。
2、將信息碼左移R位，相當與對應的信息多項式C(x)*2的R次方。
3、用生成多項式（二進制數）對信息碼做除，得到R位的余數。
4、將余數拼到信息碼左移后空出的位置，得到完整的CRC碼。
【例】假設使用的生成多項式是G(x)=x^3+x+1。4位的原始報文為1010，求編碼后的報文。
解：
1、將生成多項式G(x)=x^3+x+1轉換成對應的二進制除數1011。
2、此題生成多項式有4位（R+1），要把原始報文C(x)左移3（R）位變成1010000
3、用生成多項式對應的二進制數對左移3位后的原始報文進行模2除，相當于按位異或：
1010000
------------------
1000
1011
------------------
011
得到的余位011，所以最終編碼為：1010011
編輯本段
生成CRC碼的基本原理
任意一個由二進制位串組成的代碼都可以和一個系數僅為‘0’和‘1’取值的多項式一一對應。例如：代碼1010111對應的多項式為x6+x4+x2+x+1，而多項式為x5+x3+x2+x+1對應的代碼101111。
編輯本段
CRC碼集選擇的原則
若設碼字長度為N，信息字段為K位，校驗字段為R位(N=K+R)，則對于CRC碼集中的任一碼字，存在且僅存在一個R次多項式g(x)，使得
V(x)=A(x)g(x)=xRm(x)+r(x);
其中: m(x)為K次原始的信息多項式， r(x)為R-1次校驗多項式（即CRC校驗和），
g(x)稱為生成多項式：
g(x)=g0+g1x1+ g2x2+...+g(R-1)x(R-1)+gRxR
發送方通過指定的g(x)產生CRC碼字，接收方則通過該g(x)來驗證收到的CRC碼字。
編輯本段
CRC校驗碼軟件生成方法：
借助于多項式除法，其余數為校驗字段。
例如：信息字段代碼為: 1011001；對應m(x)=x6+x4+x3+1
假設生成多項式為：g(x)=x4+x3+1；則對應g(x)的代碼為: 11001
x4m(x)=x10+x8+x7+x4 對應的代碼記為：10110010000；
采用多項式除法: 得余數為: 1010 (即校驗字段為：1010）
發送方：發出的傳輸字段為: 1 0 1 1 0 0 1 1010
信息字段校驗字段
接收方：使用相同的生成碼進行校驗:接收到的字段/生成碼（二進制除法） 如果能夠除盡，則正確，
給出余數（1010）的計算步驟：
除法沒有數學上的含義，而是采用計算機的模二除法，即，除數和被除數做異或運算。進行異或運算時除數和被除數最高位對齊，按位異或。 10110010000
^11001
--------------------------
01111010000
1111010000
^11001
-------------------------
0011110000
11110000
^11001
--------------------------
00111000
111000
^ 11001
-------------------
001010
則四位CRC監督碼就為：1010。
利用CRC進行檢錯的過程可簡單描述為：在發送端根據要傳送的k位二進制碼序列，以一定的規則產生一個校驗用的r位監督碼(CRC碼)，附在原始信息后邊，構成一個新的二進制碼序列數共k+r位，然后發送出去。在接收端，根據信息碼和CRC碼之間所遵循的規則進行檢驗，以確定傳送中是否出錯。這個規則，在差錯控制理論中稱為“生成多項式”。
編輯本段
代數學的一般性算法
在代數編碼理論中，將一個碼組表示為一個多項式，碼組中各碼元當作多項式的系數。例如 1100101 表示為1·x6+1·x5+0·x4+0·x3+1·x2+0·x+1，即 x6+x5+x2+1。
設編碼前的原始信息多項式為P(x)，P(x)的最高冪次加1等于k；生成多項式為G(x)，G(x)的最高冪次等于r；CRC多項式為R(x)；編碼后的帶CRC的信息多項式為T(x)。
發送方編碼方法：將P(x)乘以xr(即對應的二進制碼序列左移r位)，再除以G(x)，所得余式即為R(x)。用公式表示為T(x)=xrP(x)+R(x)
接收方解碼方法：將T(x)除以G(x)，得到一個數，如果這個余數為0，則說明傳輸中無錯誤發生，否則說明傳輸有誤。
舉例來說，設信息編碼為1100，生成多項式為1011，即P(x)=x3+x2，G(x)=x3+x+1，計算CRC的過程為
xrP(x) =x3(x3+x2) = x6+x5 G(x)= x3+x+1 即 R(x)=x。注意到G(x)最高冪次r=3，得出CRC為010。
如果用豎式除法(計算機的模二，計算過程為
1110 ------- 1011 /1100000 (1100左移3位) 1011 ---- 1110 1011 ----- 1010 1011 ----- 0010 0000 ---- 010 因此，T(x)=(x6+x5)+(x)=x6+x5+x, 即 1100000+010=1100010
如果傳輸無誤，
T(x)= （x6+x5+x）/G(x) = x3+x2+x, G(x)= x3+x+1 無余式。回頭看一下上面的豎式除法，如果被除數是1100010，顯然在商第三個1時，就能除盡。
上述推算過程，有助于我們理解CRC的概念。但直接編程來實現上面的算法，不僅繁瑣，效率也不高。實際上在工程中不會直接這樣去計算和驗證CRC。
下表中列出了一些見于標準的CRC資料：
名稱 生成多項式 簡記式* 應用舉例
CRC-4 x4+x+1 3 ITU G.704
CRC-12 x12+x11+x3+x+1
CRC-16 x16+x15+x2+1 8005 IBM SDLC
CRC-ITU** x16+x12+x5+1 1021 ISO HDLC, ITU X.25, V.34/V.41/V.42, PPP-FCS CRC-32 x32+x26+x23+...+x2+x+1 04C11DB7 ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS
CRC-32c x32+x28+x27+...+x8+x6+1 1EDC6F41 SCTP
* 生成多項式的最高冪次項系數是固定的1，故在簡記式中，將最高的1統一去掉了，如04C11DB7實際上是104C11DB7。 ** 前稱CRC-CCITT。ITU的前身是CCITT。備注：（1）生成多項式是標準規定的（2）CRC校驗碼是基于將位串看作是系數為0或1的多項式，一個k位的數據流可以看作是關于x的從k-1階到0階的k-1次多項式的系數序列。采用此編碼，發送方和接收方必須事先商定一個生成多項式G(x)，其高位和低位必須是1。要計算m位的幀M(x)的校驗和，基本思想是將校驗和加在幀的末尾，使這個帶校驗和的幀的多項式能被G(x)除盡。當接收方收到加有校驗和的幀時，用G(x)去除它，如果有余數，則CRC校驗錯誤，只有沒有余數的校驗才是正確的。 (3) 名稱生成多項式簡記式* 標準引用 CRC-4 x4+x+1 3 ITU G.704 CRC-8 x8+x5+x4+1 0x31 CRC-8 x8+x2+x1+1 0x07 CRC-8 x8+x6+x4+x3+x2+x1 0x5E CRC-12 x12+x11+x3+x+1 80F CRC-16 x16+x15+x2+1 8005 IBM SDLC CRC16-CCITT x16+x12+x5+1 1021 ISO HDLC,ITU X.25,V.34/V.41/V.42, PPP-FCS CRC-32 x32+x26+x23+...+x2+x+1 04C11DB7 ZIP, RAR, IEEE 802 LAN/FDDI, IEEE 1394, PPP-FCS
CRC-32c x32+x28+x27+...+x8+x6+1 1EDC6F41 SCTP。
總結
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