小波變換時20世紀(jì)80年代中后期逐漸發(fā)展起來的一種數(shù)學(xué)分析方法，他一出現(xiàn)就受到數(shù)學(xué)界和工程界的廣泛重視。1984年法國科學(xué)家J.Molet在分析地震波的局部特性時，首先用小波變換對信號進(jìn)行分析，并提出小波這一術(shù)語。

小波，小的波形，小是指其具有衰減性，波是指其具有波動性，即小波的振幅具有振幅正負(fù)相間的震蕩形式。小波理論采用多分辨率思想，非均勻的劃分時頻空間，它使信號仍能在一組正交基上進(jìn)行分解，為非平穩(wěn)信號的分析提供了新途徑。

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小波就是在函數(shù)空間的一個滿足條件的函數(shù)或者信號。小波分析能夠?qū)瘮?shù)和信號進(jìn)行任意指定點處的任意精細(xì)結(jié)構(gòu)的分析，同時，這也決定了小波分析在對非平穩(wěn)信號進(jìn)行時頻分析時，具有對時頻同時局部化的能力。

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連續(xù)小波的時頻窗時時頻平面上一個可變的矩形，他的時頻窗的面積與小波的母函數(shù)有關(guān)，這一點決定了小波變換在信號的時頻分析中的特殊作用。

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小波分析特點；

小波變換的時頻關(guān)系受到不確定性原理的制約。還有恒Q性質(zhì)，Q為母小波的品質(zhì)因數(shù)。Q=帶寬/中心頻率。

恒Q性質(zhì)是小波變換的一個重要性質(zhì)，也是小波變換區(qū)別于其他類型的變換，且被廣泛應(yīng)用的一個重要原因。當(dāng)用較小的a對信號做高頻分析時，實際上使用高頻小波對信號做細(xì)致觀察；而用較大的a對信號做低頻分析時，實際上使用低頻小波對信號做概貌觀察。

小波分析師傅里葉分析的發(fā)展和拓展，區(qū)別是

1.傅里葉變換用到的基本函數(shù)具有唯一性，小波分析用到的函數(shù)具有不唯一性，同樣一個問題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析，有事結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。

2.在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，特別是對于那些頻率成分比較簡單的確定信號，傅里葉變換可以很容易的把信號表示成各種頻率成分疊加和的形式；但在時域中，傅里葉變換沒有局部化能力，無法從信號的傅里葉變換中看出原信號在任一時間點附近的形態(tài)。

3.若用信號通過濾波器來解釋，小波變換與短時傅里葉變換的不同之處在于，對短時傅里葉變換來說，帶通濾波器的帶寬與中心頻率無關(guān)；相反，小波變換帶通濾波器的帶寬則正比于中心頻率，即小波變換對應(yīng)的濾波器有一個恒定的相對帶寬。

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小波變換的多分辨分析

用照相機鏡頭相對被觀察景物前后退役的比喻關(guān)系來粗略的揭示多分辨率概念。這種由粗到細(xì)對事物逐級的分析稱為多分辨分析，其特性是由信號的自然特征所決定的?？蓮膬蓚€角度引入多分辨分析，函數(shù)空間的話費分和理想濾波器組。

從理想濾波器組角度看，多分辨分析實質(zhì)上是將信號按頻帶進(jìn)行分解，分解方法可以使等頻帶劃分，也可以采用一種二進(jìn)制分解。每一級分解后信號的頻帶都比前一級減小一半，因此每一級都有一個而抽取環(huán)節(jié)，他表示對每兩點數(shù)據(jù)保存一點。

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從信號的分解來看，一次次的分解將原信號分成了一個個具有不同頻帶的子帶信號，若對這些子帶信號各自做DFT，且DFT的長度都一樣，那么每一個子帶信號的頻率分辨率是不一樣的。把這一類將原信號按頻帶分解成一個個自帶喜好的方法稱作“多分辨分析”，引出一下概念

頻率空間的劃分，恒Q性的各帶通空間，各級濾波器的一致性。

從函數(shù)空間劃分的角度看，二分的情況下Mallat從函數(shù)的多分辨率空間分解概念出發(fā)，在小波變換與多分辨分析之間建立起聯(lián)系，如果把平方科技的函數(shù)看成是某一逐級逼近的極限情況，則沒機逼近都是用某一平滑函數(shù)對信號做平滑的結(jié)果，只是逐級逼近時平滑函數(shù)也做逐級伸縮，即用不同的分辨率來逐級逼近待分析的函數(shù)。對于空間，可以找到相應(yīng)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，并可以由此構(gòu)造尺度函數(shù)與小波函數(shù)。尺度函數(shù)和低通濾波器相對應(yīng)，小波函數(shù)和高通濾波器相對應(yīng)。

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小波變換在語音處理中的應(yīng)用

小波變換在信號的分析和處理中發(fā)揮著重要的作用。利用小波變換對聽覺感知系統(tǒng)進(jìn)行模擬，對語音信號去噪，進(jìn)行清、濁音判斷。

小波變換對聽覺系統(tǒng)的模擬：耳蝸濾波器，基底膜完成對信號的分析，毛細(xì)胞完成機械振動到電機里的轉(zhuǎn)換；側(cè)抑制網(wǎng)絡(luò)完成聲學(xué)譜特征的縮減。采用廣義的小波變換，即把小波變換和小波包變換結(jié)合使用，以不完全的小波包變換對輸入信號進(jìn)行處理。小波包算法又靈活的時頻分析能力，可以更好地符合人耳基底膜的頻率分析特征。

用于隨機噪聲的去除基本思想是：根據(jù)噪聲與信號在各尺度上的小波譜具有不同表現(xiàn)的特點，將噪聲小波譜占主導(dǎo)地位的那些尺度上的噪聲小波譜分量去掉，這樣保留下來小波普就是原信號的小波譜，然后再利用小波變換重構(gòu)算法，重構(gòu)出原信號。小波變換去噪的關(guān)鍵是如何濾除有噪聲產(chǎn)生的小波譜分量。連個定理可以體現(xiàn)，隨著尺度的增加，白噪聲的小波譜將逐漸消失，而有效信號的小波變換在大尺度上仍有清晰的表現(xiàn)。通過觀察信號與噪聲小波譜模值隨尺度增加或減小的演變情況，可以區(qū)分白噪聲及信號各自產(chǎn)生的變換模值。

用于濁音和清音的判斷

低頻描述輪廓，相當(dāng)于信號經(jīng)過低通濾波器，高頻描述細(xì)節(jié)，相當(dāng)于喜好經(jīng)過高通濾波器。根據(jù)語音信號短時平穩(wěn)特點，首先對語音信號分幀進(jìn)行小波變換，將小波域的系數(shù)平均分為4個頻帶，計算每個頻帶的平均能量。滿足在小波域中的最高頻帶的能量比其他頻帶的能量大，最低頻帶的能量和最高頻帶的能量比小于0.9，則認(rèn)為這段語音信號為清音。

小波變換還可用于動態(tài)頻譜分析。用作特征提取的手段。

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總結(jié)

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