一、背景介紹

強連通分量是有向圖中的一個子圖，在該子圖中，所有的節點都可以沿著某條路徑訪問其他節點。強連通性是一種非常重要的等價抽象，因為它滿足

• 自反性：頂點V和它本身是強連通的
• 對稱性：如果頂點V和頂點W是強連通的，那么頂點W和頂點V也是強連通的
• 傳遞性：如果V和W是強連通的，W和X是強連通的，那么V和X也是強連通的

強連通性可以用來描述一系列屬性，如自然界中物種之間的捕食關系，互相捕食的物種可以看作等價的，在自然界能量傳遞中處于同一位置。

下圖中，子圖{1,2,3,4}為一個強連通分量，因為頂點1,2,3,4兩兩可達。{5},{6}也分別是兩個強連通分量。

二、Kosaraju算法描述

Kosaraju算法通過以下步驟獲得一個有向圖的強連通分量。

• 在圖G中，計算圖G的反向圖G'的深度優先搜索的逆后序排列。反向圖是比如原圖中有V到W的鏈接，那么反向圖中就有W到V的鏈接。逆后序排列是指，在對一個圖進行深度優先遍歷時，先進行子節點的遞歸，再將本節點加入到一個棧中，最后依次出棧以獲得的序列。逆后序排列有一個重要特性，就是如果有W到V的有向鏈接，那么實際出棧時，W仍然排在V的前面。
• 在G中進行普通的深度優先搜索，但是搜索順序不是按照正統的( i = 0, i < N )去依次搜索，而是以剛剛獲得的逆后序排列的順序進行搜索。
• 每個以這個逆后序排列中的元素開始的DFS搜索，找到的所有元素，都是同一個強聯通分量的元素。

為什么這個算法可以獲得強連通分量呢？網上的證明很少，所以下面給出我的邏輯證明。

三、Kosaraju算法證明

我們按照算法描述的步驟往下走：

按照算法的結論，假設我們已經獲得了一個逆后序排列，我們從中找兩個元素，分別是V,W，W先出棧并且通過DFS找到了V。那么，V和W就是同一個聯通分量的元素。到底是不是呢？

不管是不是，我們至少可以確定對于該有向圖G，W有一條鏈接通往V，我們記作W->V。那么，對于該有向圖的反向圖G'，確定有鏈接V->W。

我們開始思考，在什么條件下，我們能夠在反向圖 G' 中獲得V...W（即W先出棧）這樣一個排列呢？要知道，我們剛剛確定了有鏈接V->W，所以逆后序排列中，應該是V排在W的前面，W...V這樣啊？

所以在G'中，要么是我們之前提到的，在V->W的同時有W->V的鏈接；要么就是W和V之間沒有任何聯系，這樣V的DFS結束之后，包含W的聯通分量的DFS才開始遍歷，才能造成W比V先出棧。

但是我們已經知道，V和W不是毫無關系的，確定有鏈接V->W，所以第二個可能不成立，所以必然存在一個W->V的鏈接，也就是W和V是互相聯通的！

證明完畢。

四、算法源碼

?因為代碼很長，放在github上了。代碼是在Idea中編譯運行通過的，實現了一個基本的Graph數據結構，在此基礎上實現了Kosaraju類，供參考。

源文件

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五、更加迅速的tarjan算法

部分內容轉自https://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan

1.Tarjan算法

Tarjan算法是基于對圖深度優先搜索的算法，每個強連通分量為搜索樹中的一棵子樹。搜索時，把當前搜索樹中未處理的節點加入一個堆棧，回溯時可以判斷棧頂到棧中的節點是否為一個強連通分量。

定義DFN(u)為節點u搜索的次序編號(時間戳)，Low(u)為u或u的子樹能夠追溯到的最早的棧中節點的次序號。由定義可以得出，

Low(u)=Min {DFN(u),Low(v),(u,v)為樹枝邊，u為v的父節點DFN(v),(u,v)為指向棧中節點的后向邊(非橫叉邊) }

當DFN(u)=Low(u)時，以u為根的搜索子樹上所有節點是一個強連通分量。

算法偽代碼如下

tarjan(u) {DFN[u]=Low[u]=++Index // 為節點u設定次序編號和Low初值Stack.push(u) // 將節點u壓入棧中for each (u, v) in E // 枚舉每一條邊if (v is not visted) // 如果節點v未被訪問過tarjan(v) // 繼續向下找Low[u] = min(Low[u], Low[v])else if (v in S) // 如果節點v還在棧內Low[u] = min(Low[u], DFN[v])if (DFN[u] == Low[u]) // 如果節點u是強連通分量的根 repeatv = S.pop // 將v退棧，為該強連通分量中一個頂點 print vuntil (u== v) }

2.算法的精要之處如下：

• 為每個加入的節點設定序號，使得后搜索到的節點的序號一定高于前面的節點
• 那么，如果后搜索到的節點的子節點里居然有比它本身還要小的節點，則一定出現了環。有環則必定強連通
• 那么，把該節點的標識節點Low(u)設為發現的后向節點的值DFN(V)
• 然后遞歸程序返回該節點的上級節點u-1，上級節點判斷Low(u-1)的值，也把它指向了剛剛找到的后向節點
• 最后，除了后向節點本身，所有環中的節點都指向該后向節點，那么，我們找到了一個強連通分量。

3.算法流程的演示

從節點1開始DFS，把遍歷到的節點加入棧中。搜索到節點u=6時，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個強連通分量。退棧到u=v為止，{6}為一個強連通分量。

返回節點5，發現DFN[5]=LOW[5]，退棧后{5}為一個強連通分量。

返回節點3，繼續搜索到節點4，把4加入堆棧。發現節點4向節點1有后向邊，節點1還在棧中，所以LOW[4]=1。節點6已經出棧，(4,6)是橫叉邊，返回3，(3,4)為樹枝邊，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

繼續回到節點1，最后訪問節點2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，發現DFN[1]=LOW[1]，把棧中節點全部取出，組成一個連通分量{1,3,4,2}。

至此，算法結束。經過該算法，求出了圖中全部的三個強連通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以發現，運行Tarjan算法的過程中，每個頂點都被訪問了一次，且只進出了一次堆棧，每條邊也只被訪問了一次，所以該算法的時間復雜度為O(N+M)。

求有向圖的強連通分量還有一個強有力的算法，為Kosaraju算法。Kosaraju是基于對有向圖及其逆圖兩次DFS的方法，其時間復雜度也是O(N+M)。與Trajan算法相比，Kosaraju算法可能會稍微更直觀一些。但是Tarjan只用對原圖進行一次DFS，不用建立逆圖，更簡潔。在實際的測試中，Tarjan算法的運行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，該Tarjan算法與求無向圖的雙連通分量(割點、橋)的Tarjan算法也有著很深的聯系。學習該Tarjan算法，也有助于深入理解求雙連通分量的Tarjan算法，兩者可以類比、組合理解。

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轉載于:https://www.cnblogs.com/bethunebtj/p/4854946.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Kosaraju算法、Tarjan算法分析及证明--强连通分量的线性算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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