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寫的很好，昨天剛剛開始寫線段樹，有些地方還不是很明白，看了這篇博文，學(xué)會(huì)了數(shù)組形式保存線段樹，還學(xué)會(huì)了區(qū)間更新

以下為轉(zhuǎn)載的博文內(nèi)容

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距離第一次接觸線段樹已經(jīng)一年多了，再次參加ACM暑假集訓(xùn)，這一次輪到我們這些老家伙們給學(xué)弟學(xué)妹們講解線段樹了，所以就自己重新把自己做過的題目看了一遍，然后寫篇博客紀(jì)念一下。作為一個(gè)菜鳥，文中肯定有很多表達(dá)不是很準(zhǔn)確甚至錯(cuò)誤的地方，歡迎各位大牛指正。

? ? ? ? 作為近年來算法競(jìng)賽里面最火爆的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)考點(diǎn)，它的用法和問法層出不窮。而作為解決反復(fù)對(duì)區(qū)間的更新和查詢問題最好的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它擁有其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)無法取代的地位。樹狀數(shù)組雖然也能解決很多問題，而且代碼量較低，空間復(fù)雜度較低，但是局限性較大，比如區(qū)間最值的問題就不能用樹狀數(shù)組完美解決。

? ? ? ? 那么接下來就為大家?guī)砭€段樹的兩種基本用法：單點(diǎn)更新和區(qū)間更新（又叫成段更新）。

? ? ? ? 首先線段樹它是一棵高度平衡的二叉樹，那么很多二叉樹的性質(zhì)它是完美繼承的，比如用數(shù)組去模擬的話，父節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)*2=左兒子的下標(biāo)，父節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)*2+1=右兒子的下標(biāo)。而這個(gè)性質(zhì)也在線段樹的實(shí)現(xiàn)中得到了很好的運(yùn)用（當(dāng)然線段樹還有很多不同的寫法，大家可以自行研究，這里不做展開）。

? ? ? ? 那么什么是線段樹呢？

? ? ? ? 我們來看一道題：

HDU1166敵兵布陣

? ? ? ? 這道題如果用常規(guī)暴力的做法，就把所有營(yíng)地的士兵存在一個(gè)數(shù)組里面，然后對(duì)于每次操作直接更新對(duì)應(yīng)位置的數(shù)，對(duì)于每次詢問直接從i到j(luò)加起來。然而這么操作下來，對(duì)于極限數(shù)據(jù)50000個(gè)人，40000條命令，顯然是會(huì)超時(shí)的，那么一種新的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)線段樹就應(yīng)運(yùn)而生了。

? ? ? ? 首先第一個(gè)疑問：為什么線段樹會(huì)快？

? ? ? ? 顯然對(duì)于m個(gè)點(diǎn)n次詢問，暴力的做法時(shí)間復(fù)雜度是O（m*n）的。然而線段樹作為一棵二叉樹，繼承了二叉樹O（logn）的優(yōu)良品質(zhì)，對(duì)于這道題最壞的復(fù)雜度也是O（m*logn）的，這個(gè)量顯然是符合時(shí)間要求的。

? ? ? ? 第二：線段樹如何處理？

? ? ? ? 倘若節(jié)點(diǎn)x(x為奇數(shù))記錄的是第1個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，節(jié)點(diǎn)x+1記錄的是第2個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，那么節(jié)點(diǎn)x/2記錄的就是區(qū)間[1,2]上的有效數(shù)據(jù)，以此類推，最頂端的父節(jié)點(diǎn)記錄的就是區(qū)間[1,n]上的有效數(shù)據(jù)，那么對(duì)于每個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，有且僅有l(wèi)ogn個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)會(huì)被它影響，因此每次更新只用更新logn個(gè)點(diǎn)，查詢亦然，這樣就有效地節(jié)約了時(shí)間。

? ? ? ? 對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)，其代表的是區(qū)間[x,y]之間的值，那么其左兒子節(jié)點(diǎn)代表的就是[x,(x+y)/2]區(qū)間的值，右兒子節(jié)點(diǎn)代表的是區(qū)間[(x+y)/2+1,y]上的值，既保證了無重復(fù)，又保證了樹的層數(shù)最短，查詢效率最高。

? ? ? ? 第三：線段樹的具體實(shí)現(xiàn)呢？

? ? ? ? 那么我們就跟著剛才拿到題目來詳細(xì)講解。

int tre[N*4]; void build(int num,int le,int ri) { if(le==ri) { scanf("%d",&tre[num]); return ; } int mid=(le+ri)/2; build(num*2,le,mid); build(num*2+1,mid+1,ri); tre[num]=tre[num*2]+tre[num*2+1]; }

?首先是建樹，在這里num存的是下標(biāo)，而le和ri表示的是這個(gè)區(qū)間的左右端點(diǎn)，那么每往下一層num*2，區(qū)間則折半，保證了最少的層數(shù)，而此時(shí)內(nèi)存占用大約為4倍的點(diǎn)數(shù)，所以開數(shù)組的時(shí)候開tre[4*N]。這個(gè)題因?yàn)樾枰x入每個(gè)點(diǎn)，作為二叉樹的先序遍歷，很好地保證了第x個(gè)點(diǎn)正好讀入在le=ri=x的那個(gè)tre[num]里面。而父親節(jié)點(diǎn)所代表的區(qū)間包含了子節(jié)點(diǎn)所代表的區(qū)間，所以子節(jié)點(diǎn)的值又會(huì)影響父節(jié)點(diǎn)，因此每次建立完兒子節(jié)點(diǎn)之后，又會(huì)通過tre[num]=tre[num*2]+tre[num*2+1];操作將父親節(jié)點(diǎn)初始化，當(dāng)然此處為求和操作所以是+，不同的題可以選擇取最值等不同運(yùn)算符。當(dāng)然不同的題根據(jù)需求可以采取對(duì)tre[num]賦值或者memset等方法來建樹以及初始化。

void update(int num,int le,int ri,int x,int y) { if(le==ri) { tre[num]+=y; return ; } int mid=(le+ri)/2; if(x<=mid) update(num*2,le,mid,x,y); else update(num*2+1,mid+1,ri,x,y); tre[num]=tre[num*2]+tre[num*2+1]; }

接下來是修改操作，繼承了上面的num，le，ri，保證了一致性，同時(shí)此處做的是對(duì)于第x個(gè)點(diǎn)增加y個(gè)人的操作，所以尋找到x所對(duì)應(yīng)的tre[num]，然后操作，并回退。而此時(shí)需要注意的是，對(duì)于x操作了之后，所有包含x的區(qū)間的tre[num]都需要被修改，因此也就有了在回退前的tre[num]=tre[num*2]+tre[num*2+1];操作。而這個(gè)題操作的是增加減少（減少直接傳-x），而其他的諸如取最大最小值、取異或值等等都只用對(duì)于對(duì)應(yīng)的運(yùn)算符做修改即可。

int query(int num,int le,int ri,int x,int y) { if(x<=le&&y>=ri) { return tre[num]; } int mid=(le+ri)/2; int ans=0; if(x<=mid) ans+=query(num*2,le,mid,x,y); if(y>mid) ans+=query(num*2+1,mid+1,ri,x,y); return ans; }

最后是查詢操作，依然繼承了num，le，ri。而此處做的是區(qū)間查詢，（其實(shí)如果x=y就成了單點(diǎn)查詢）那么如果查詢區(qū)間[x,y]包含了目前的區(qū)間[le,ri]，即x<=le&&y>=ri，那么此時(shí)的tre[num]就已經(jīng)是這一部分的有效數(shù)據(jù)了，所以直接return即可，否則繼續(xù)分區(qū)間查詢。同樣，此時(shí)根據(jù)題意所做的求和操作可以對(duì)應(yīng)替換為異或、取最值等操作。

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? ? ? ? 以上就是線段樹最簡(jiǎn)單的功能——單點(diǎn)更新。

? ? ? ? 下面為大家?guī)淼木€段樹稍微難一點(diǎn)但是基本是最常用的一個(gè)用法：區(qū)間更新。

區(qū)間更新對(duì)于初學(xué)者來說是一個(gè)坎，其中有幾步相對(duì)較難理解。但是只要掌握，就能解決絕大多數(shù)線段樹的題目了。

? ? ? ? 首先剛剛那個(gè)題每次是每個(gè)營(yíng)地增減人，那么如果每次是x號(hào)營(yíng)地到y(tǒng)號(hào)營(yíng)地每次都增減人呢？這樣我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)單點(diǎn)更新操作不適用了，無論我們?nèi)绾握{(diào)整都無法達(dá)到效果，而且即使每次對(duì)于x到y(tǒng)之間每個(gè)營(yíng)地都執(zhí)行一次單點(diǎn)操作，結(jié)果上看似可以，但是極限情況下我們每次對(duì)于1到n號(hào)進(jìn)行更新的話，復(fù)雜度就會(huì)達(dá)到O(m*n*logn)，這樣就絕對(duì)會(huì)超時(shí)了，那么怎么做呢？這里就要用到區(qū)間更新了。

? ? ? ? 對(duì)于區(qū)間更新的，我們來看下面這個(gè)題：

HDU1556Color the ball

? ? ? ? 這個(gè)題很顯然滿足剛剛所提到的每次對(duì)于其中的一段里面的所有點(diǎn)進(jìn)行操作。

? ? ? ? 那么既然是線段樹，首先我們依然是建樹初始化，在建樹階段區(qū)別不多，該讀值的讀值，該賦值的賦值，該置0的置0，這題根據(jù)需要，在最開始所有的球都是未被涂色的，那么直接所有tre[num]置為0即可，于是這一次我們就可以不必單獨(dú)寫一個(gè)build了，直接memset(tre,0,sizeof(tre))；即可。

? ? ? ? 但是與單點(diǎn)更新最大的不同就是：它多了一個(gè)lazy數(shù)組！！！！！！！！！！重要的地方要打10個(gè)感嘆號(hào)。

? ? ? ? laz，全稱lazy，中文叫懶惰標(biāo)記或者延遲更新標(biāo)記。

? ? ? ? 因?yàn)槲覀冎?#xff0c;如果我們每次都把段更新到節(jié)點(diǎn)上，那么操作次數(shù)和每次對(duì)區(qū)間里面的每個(gè)點(diǎn)單點(diǎn)更新是完全一樣的哇！那么怎么辦呢？仔細(xì)觀察線段樹，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)非常神奇的地方：每個(gè)節(jié)點(diǎn)表示的值都是區(qū)間[le,ri]之間的值有木有！！！！！！！！！！為什么說它神奇呢？更新的區(qū)間的值，存的區(qū)間的值！簡(jiǎn)直就是天作之合，我每次更新到對(duì)應(yīng)區(qū)間了我就放著，我等下次需要往下更新更小的區(qū)間的時(shí)候，再把兩次的值一起更新下去有木有啊！可以節(jié)約非常多時(shí)間啊有木有啊！

? ? ? ?對(duì)，這就是laz[num]的作用。下面我們跟著題再來逐步感受。

? ? ? ?首先在最最最最最最開始，是沒有進(jìn)行過更新操作的，那么laz[num]自然是全部置為0（當(dāng)然有的題有額外的初始化要求，大家根據(jù)題目自行定奪）。

? ? ? ?那么初始化結(jié)束之后，就開始更新操作。

void update(int num,int le,int ri,int x,int y) { if(x<=le&&y>=ri) { tre[num]++; laz[num]++; return ; } pushdown(num); int mid=(le+ri)/2; if(x<=mid) update(num*2,le,mid,x,y); if(y>mid) update(num*2+1,mid+1,ri,x,y); }

這一段是對(duì)區(qū)間[x,y]上的每個(gè)氣球都涂色一次，當(dāng)然你也可以涂z次色，無非就是額外再傳一個(gè)變量代表涂色次數(shù)嘛。然后依然是分區(qū)間查找，一直到目標(biāo)區(qū)間[x,y]包含了當(dāng)前區(qū)間[le,ri]，那么就對(duì)tre[num]和laz[num]操作，代表對(duì)這個(gè)區(qū)間我這么修改，而這個(gè)區(qū)間的分區(qū)間也應(yīng)該被做修改，但是這時(shí)候我為了節(jié)約時(shí)間，暫時(shí)不做修改，但是我把這個(gè)修改動(dòng)作存在laz[num]里，下次需要的時(shí)候再修改。

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? ? ? ?而下次是什么時(shí)候呢？就是當(dāng)前區(qū)間比我需要的目標(biāo)區(qū)間大的時(shí)候，我必須用到下面的值了，那么就迫不得已了，不能再懶惰下去了，必須往下修改了，這時(shí)候，我們就把之前堆積起來的懶惰標(biāo)記pushdown了，于是就有了一個(gè)神奇的pushdown操作。

void pushdown(int num) { if(laz[num]!=0) { tre[num*2]+=laz[num]; tre[num*2+1]+=laz[num]; laz[num*2]+=laz[num]; laz[num*2+1]+=laz[num]; laz[num]=0; } }

?以上就是這個(gè)題的pushdown操作。當(dāng)laz[num]!=0時(shí)，也就是這個(gè)點(diǎn)存在懶惰標(biāo)記的時(shí)候，我們就要往下更新了，然而這個(gè)題是否判斷l(xiāng)az[num]的有無對(duì)整體影響不大，但是有部分題再pushdown的同時(shí)會(huì)對(duì)整體有影響，例如取最小值的時(shí)候?qū)τ谝欢瓮瑫r(shí)置為一個(gè)數(shù)，那么如果不判斷0,就會(huì)把0給誤pushdown下去，這就必須判斷l(xiāng)az[num]的有無了。

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? ? ? ? 那么laz[num]本來是應(yīng)該修改下去的，所以會(huì)對(duì)兩個(gè)兒子節(jié)點(diǎn)的tre[num]有影響，這里因?yàn)槭乔蠹?#xff0c;所以采用的是+號(hào)，其它操作根據(jù)具體題目替換。同時(shí)，兒子節(jié)點(diǎn)的兒子節(jié)點(diǎn)也應(yīng)該被更新，但是我們依然懶，趕一步走一步，所以此時(shí)依然不更新兒子節(jié)點(diǎn)的兒子節(jié)點(diǎn)，而是用更新兒子節(jié)點(diǎn)的laz標(biāo)記來代替。

? ? ? ? 回到之前的updata操作，在每次修改了兒子節(jié)點(diǎn)的tre[num]之后，正常情況下應(yīng)該對(duì)父親節(jié)點(diǎn)的tre[num]進(jìn)行修改，但是此題父親節(jié)點(diǎn)的tre[num]不會(huì)對(duì)后面的結(jié)果造成影響，所以這里就偷懶省略了這一步操作，實(shí)際操作中絕大部分題目都是不可以省略的，必須在更新完兒子節(jié)點(diǎn)的值之后再反過來更新父親節(jié)點(diǎn)。

? ? ? ? 最后依然是query操作。

int query(int num,int le,int ri,int x) { if(le==ri) { return tre[num]; } pushdown(num); int mid=(le+ri)/2; if(x<=mid) return query(num*2,le,mid,x); else return query(num*2+1,mid+1,ri,x); }

與單點(diǎn)更新時(shí)的query非常相似（廢話吼，線段樹本來就是一個(gè)比較模板的東西），也是額外加了一個(gè)pushdown操作，原因與update的一樣，最后也缺省了反過來對(duì)父親節(jié)點(diǎn)的更新，原因同上，不再贅述。

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? ? ? ? 至此線段樹的兩種基本用法：單點(diǎn)更新和區(qū)間更新操作就已經(jīng)介紹完畢了。相信大家如果能仔細(xì)看完的話，對(duì)于這個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)也應(yīng)該有了一定的認(rèn)識(shí)。而線段樹還有掃描線、區(qū)間合并等高級(jí)用法，而且線段樹作為一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，是必然會(huì)和其它算法發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的，例如矩陣、dp等操作都有可能被巧妙地嵌套在線段樹上形成一個(gè)綜合題，所以大家下去一定要多做題，多感悟，才能深入透徹地吃下這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

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void update(int i,int k,int val,int q){//單個(gè)點(diǎn)的更新if( A[i].lt == k && A[i].rt == k ){if( q ){A[i].val += val;}else{A[i].val -= val;}return ;}if( k <= A[i<<1].rt ){update( i<<1,k,val,q );//自己體會(huì)}if( k>= A[i<<1|1].lt ){update( i<<1|1,k,val,q );}A[i].val = (A[i<<1].val + A[i<<1|1].val ); }int query(int i,int lt,int rt){if( A[i].lt >= lt && A[i].rt <= rt ){return A[i].val;}int a = 0;int b = 0;if( lt <= A[i<<1].rt ){//左區(qū)間有涉及就向左查詢a = query( i<<1,lt,rt );}if( rt >= A[i<<1|1].lt ){//右區(qū)間有涉及就向右查詢b = query( i<<1|1,lt,rt );}return (a+b); }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的（转）线段树的区间更新的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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